最近又看了一遍夏道行的泛函分析第二教程, 在向量值函数与向量值测度那一张, 越看, 越感觉不少定义可以不依赖与完备的赋范线性空间, 仅仅依赖于完备的第一可数的拓扑线性空间(甚至把第一可数这个性质去掉, 感觉也没问题).
比如, 向量值函数$x(t)$对数值测度$\mu(t)$积分中, 我认为只需要向量值函数$x(t)$的值域是拓扑线性空间, 并且保证$x(t)$是一列(值域是可数个点的函数)组成网$\{x_\alpha(t)\}$的极限, 且$\int x_\alpha (t)\mathrm d \mu (t)$的极限存在, 就可以定义积分.
而对于数值函数对向量值测度$F$的积分, 我认为向量值测度$F$中的空间也可以改为拓扑线性空间, 因为定义中仅涉及到了点列的极限与$F$零测集的定义, 而$F$零测集是使$\sup_{g\text{为连续线性泛函}} |g\circ F |(E)=0$的$E$, 根本不需要向量值测度的值域上存在范数.
所以我想问一下, 有什么比较好的且最好是最近新出的关于向量值函数或向量值测度的教材吗?
我找到了一本书, 里面解决了我的问题, 书中把被积函数的值域扩展到了以局部凸锥(Locally convex cone)为值域的锥值函数, 把测度的值域扩展到了两个局部凸锥之间的连续线性算子(所形成的局部凸锥). 而完备的局部凸的拓扑线性空间正好可以嵌入到一个局部凸锥中, 而且这个局部凸锥性质更好, 书中叫完备的局部凸格锥(locally convex complete lattice cone). 据说这本书还成功让锥值函数的值域拓扑线性空间中可以出现无穷, 也就是在向量值测度中, 也可以允许一个可测集的测度为无穷了. 不过我还没看到那里. 我简单看了一眼, 拓扑线性空间中有的东西, 这个局部凸锥里面几乎都有, 比如对偶空间, Hahn-Banach定理.
Operator-Valued Measures and Integrals for Cone-Valued Functions (Walter Roth (auth.)) (Z-Library).pdf
这本书中, 关于局部凸锥的介绍有点少, 我找的了同作者的专门介绍局部凸锥的书. 话说我感觉只有这个作者研究局部凸锥, 在互联网仅用搜索引擎. 完全找不到其他信息.
Ordered cones and Approximation.pdf