求详解（出自安徽大学2007数学分析第二题）

周民强上面有个形式一致的题，供参考

题应该抄错了. 对于第一题, 令$a=1$, $b=e$, $f(x)=x$, 那么$F'(x)=\frac{1}{2}+\frac{\ln x}{x^2}+\frac{1}{2x^2}$,但是$F'$的最大值 是1.
第二题也是错的, 由楼上的解析可知$f(x)F(x)$在$[a,b]$上只有一个零点, 但是$f(x)$是已知的函数, 如果$f(x)$在$[a,b]$上存在2个零点, 那么$F(x)$至少在其中一个零点上为无穷, 也就是$F(x)$的定义域可能不为$[a,b]$. 而且, 仅在$F$的定义域上, $F$也可能没有零点, 如果令$$ f(x)=\left\{ \begin{aligned}&4(1-x)&, 0\le x \le 1\\ &(x-1)^{-\frac{1}{2}}&, 1\le x \le 2 \end{aligned}\right.$$那么$F(x)$应该就没有零点