以下是一个群讨论的个人向总结：
首先，在我们已知的（三次元）世界并不存在这样的东西。我们所熟知的物质都是粒子物理的标准模型中的基本粒子构成的。而在这个模型中，所有的无质量基本粒子都不带电荷，那也就意味着不可能用它们搭出来一些带电荷而无质量的物质。
其次，关于这样的东西有没有可能存在，我觉得在二次元里面很可能是存在的（我是说，二维凝聚态体系（比如由单层碳原子构成的石墨烯）里面的准粒子（也就是看起来像粒子，可以用描述粒子的方法描述的原子集体行为））。如果不要求它是粒子/准粒子的话，可以用拓扑缺陷构造出来，比如@adelinalana 提到的狄拉克锥 。
在三次元里面有没有可能存在这样的基本粒子呢？换句话说，有没有物理定律禁止这种情况发生呢？@FatFish 认为，既然胶子可以无质量而有色荷（一种类似电荷的东西，但是是对强相互作用而非电磁相互作用而言），那么应该没有物理定律禁止无质量而有电荷的粒子存在。@鹿目まどか 认为带了电荷其电荷自相互作用会产生质量。

我看楼主过往发帖是高中物竞生，按照这个背景试着做一些通俗的说明。

0.需要明确一下，这里说的是相对论意义上的静质量，不然零质量的粒子有点风吹草动就动起来了，和光子一样会具备“动质量”，（有些教材觉得“动质量”这个概念有点让人迷糊，所以提倡不用，我不清楚现在的物竞是什么标准） 怎么也做不到无质量区域，但是这和楼主本身的关心点“电量是否依靠质量存在”似乎关系不大，所以我们不拿这个当回答。

1.首先， 电荷和质量是两种完全不同的属性，至少在目前的物理学中不存在互相依存的要求。原则上，我们可以设置一个和光子一样零质量但是带电的粒子，没有什么理由不让他理论上存在。把这样的设置带入到现在的电磁场理论中并不会导致任何矛盾。

一个物体的“荷”是指这个物体与某个特定的场相互作用的强度，例如电荷衡量了这个物体受到电磁场多大的影响，光子是传播电磁场影响的粒子（光是电磁波），但是光子本身不带电荷，只是把来自另一个地方的电磁效应传递过去；而与之不同，原子核尺度的另一种强相互作用对应的荷叫做色荷，传播强相互作用的胶子就带有色荷（可以想象，这时候胶子作为邮差还顺便干点私活，分析起来会复杂很多）。胶子也没有静质量，因此这是一个“荷”与质量分离的案例。

2.虽然现在很难找0质量的带电粒子，但是在遥远的古代，宇宙大爆炸之后不久、超理论坛还没建立的时候，有很多这样的粒子。具体来说，根据现在的粒子物理标准模型和宇宙学标准模型，宇宙早期温度非常高，随着膨胀而逐渐降温，在温度降低到电弱破缺温标之前，费米子（比如电子、夸克、中微子）和传播弱相互作用的玻色子（比如两种带电的$W^{\pm}$玻色子）都没有质量，但是随着宇宙的温度逐渐冷却，Higgs场的构型发生了变化，其对称性下降，称之为自发对称性破缺（粗糙的类比一下，就和水结冰之后自由运动的水分子都固定到了特定位置类似，但是不建议把这个类比太当真），这种变化导致Higgs场与这些粒子的相互作用产生了额外的质量，这就使得今天这些粒子都具备质量了。因此，我们可以说这些0质量带电粒子曾经存在过，现在也许仍然存在于某些特别极端的高能天文现象内，或者出现在未来的超级对撞机中，无论如何，这些粒子和现有理论相处融洽。

3.如果我们把要求放松一些，考虑等效质量的话，就可以找到另一些例子，例如上一楼提到的狄拉克锥。
大致来说，等效质量就是我们把环境中一些特定的效应折合成物体的质量。例如，水中的气泡受到浮力上升，也可以理解为假设浮力不存在，而物体有一个相当于排开水质量负值的额外质量，这样就是一个负质量物体在重力影响下上升；再比如，在水中推动一个铁球要克服额外的流体阻力，因此比空气中更费劲，我们也可以假装水的阻力不存在，把这个额外的阻力理解为铁球获得了额外的质量。

具体到狄拉克锥，这是指石墨烯晶体中一些电子等效质量为0的特殊情况，这同样是把整个石墨烯的背景影响全都打包进等效质量的结果。不过这种等效出来的质量可能也有点偏离关注点，因为这本身就来自于石墨烯内部的电磁相互作用。

Q: 和规范场耦合的无质量粒子是否可以带相应的荷？
Can the massless particle coupled with gauge field be charged (corresponding to that gauge field) ?

A：

一：现实世界中可以有带电荷(electric charge)的无质量粒子吗？

有。

注意到电磁场是最小耦合的阿贝尔规范场，因此光子不带电；

但是费米子可以带电，只需要费米子无质量即可。

注意到"是否带荷"和"是否有质量"无关，因此费米子可以无质量。

凝聚态中具有大量实例，例如massless chiral Weyl Fermion.

二、为什么现实中的带电荷粒子都有质量？

我们分别讨论玻色子和费米子。

光子是玻色子，而电子是费米子。

如前所述，电磁场是阿贝尔场，所以光子不带电。

令人惊讶的一点是，标准模型中所有的费米子都具有质量。

和$U(1)$规范场耦合的无质量费米子往往具有量子反常(quantum anomaly)，因此不是一个自洽的基本理论。

对于Weyl费米子，因为Weyl费米子具有手性，所以和电磁场耦合的Weyl费米子会有chiral anomaly，需要精巧的抵消条件。

最简单的抵消条件就是理论具有相同数量的左手Weyl费米子和右手Weyl费米子，即组合成无质量Dirac费米子。

似乎没有理由要求Dirac费米子一定是有质量的，而事实也是如此：Massless Dirac fermions containing two opposite chiralities can be coupled to an electromagnetic $U(1)$ field without gauge anomalies.

（但是会有global anomaly {with fixed gauge background}，即ABJ anomaly，虽然global anomaly不影响理论的自洽性）

(ref: David Tong's Gauge Field, Chap.3.4 )

另一方面，无质量Dirac费米子的左手部分和右手部分是"脱耦"的 (没有质量项把他们联系起来)，因此很容易在具有defect等情况下导致gauge anomaly.

(ref: Alvarez-Gaume L, Vazquez-Mozo M A. Anomalies and the Green-Schwarz Mechanism)

对于其他anomaly，一种漂亮的抵消机制是Green-Schwarz machanism，但是这需要引入超对称，所以我不拟介绍。

通过Green-Schwarz machanism，人们处理了$SO(32)$和$E_8\times E_8$ Type I 超弦中的gauge anomaly、mixing anomaly和gravitational anomaly，并且将Type I超弦的规范群规模限制在496维，从而开启了第一次超弦革命并大获全胜。

 (ref: Green, Schwarz. Anomaly cancellations in supersymmetric D = 10 gauge theory and superstring theory)

那么对于其他的规范场以及相应的荷呢？

可以。

作为非阿贝尔规范场，胶子不带质量，但是带色荷。

但是胶子具有色禁闭现象，即任何稳定的色动力学束缚态都不具有色荷。我们并未完全理解这一现象的起源。

声明：

• "质量"指的是庞加莱群的Pauli矢量$W^\mu W_\mu=E^2-P^2c^2=m^2 c^4$，无质量即$E^2-P^2c^2=0$，这个矢量标记了庞加莱群的表示；
• "无质量表示"指的是某个粒子，它在庞加莱群的无质量表示下变换，其量子态是$|\psi\rangle$；
• "带荷的无质量表示"指的是某个粒子态$|\psi\rangle$，它在庞加莱群的无质量表示下变换，在规范群的非平凡表示下变换。