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Razón (matemática)

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En las matemáticas, la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción[1]​ y eventualmente como un decimal.[cita requerida]

Progresiones

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En ocasiones se habla de razón aritmética y razón geométrica en el contexto de las progresiones aritméticas y progresiones geométricas, respectivamente. En los dos casos, la razón se entiende como la relación entre dos términos consecutivos de la sucesión, denominados antecedente y consecuente, siendo esta relación la diferencia en el caso de las progresiones aritméticas y el cociente en el caso de las progresiones geométricas. Tradicionalmente se ha denominado exponente o exponente de la razón al número resultado de esta diferencia o cociente.[2][3]​ En general, se entiende por razón el cociente adimensional entre dos números, y es en este sentido que se habla de razón de aspecto en una imagen o de la razón profesor-alumnos en un centro educativo.

Razón geométrica

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«4 es a 3» es la razón entre el ancho y la altura de un típico monitor de computadora.

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Solo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razón es adimensional.

Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».

El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.

Ejemplo

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18/6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6. 20/2 representa la razón de 20 entre 2, que es igual a 10 (20 tiene diez veces 2). Su razón geométrica es 10, su antecedente 20, y su consecuente 2.

Ejemplos de progresiones geométricas

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  • La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
  • La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
  • La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
  • Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7.

Razón aritmética

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La razón aritmética[cita requerida] de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo . o bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 o 6-4.

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones aritméticas

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Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta.

Primera propiedad

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Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

  • Primer caso (con la suma)
Sea la razón aritmética 7 a 5 es igual a 2:

Si le sumamos al antecedente el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2), después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad.
  • Segundo caso (con la resta)
Sea la razón aritmética 18 a 3 es igual a 15:

Si le restamos al antecedente, el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad.

Segunda propiedad

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Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.

  • Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 45 a 13 es igual a 32:
Si le sumamos al consecuente el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 pasó a ser 25.
  • Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)
Sea la razón aritmética 36 a 12 es igual a 24:
Si le restamos al consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 pasó a ser 27.

Proporciones geométricas

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Una «proporción geométrica» es una expresión de la relación de igualdad entre 2 razones. Las proporciones geométricas se pueden representar de dos maneras distintas:

a/b = c/d o bien ab = cd

y se lee «a es a b como c es a d».

Los términos primero y cuarto de una proporción geométrica reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios. Así sea la proporción geométrica 10∶5 = 8∶4. Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).

Las proporciones geométricas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones geométricas discretas.

Razón simple

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La razón simple[4][5]​ de tres números a, b y c, expresada (abc), se define como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos.

Razón doble

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La razón doble[6][7]​ de cuatro números a, b, c y d, expresada (abcd), se define como el cociente entre la razón simple de a, c y d y la razón simple de b, c y d.

Véase también

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Referencias

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  1. Palmer, Claude Irwin; Bibb, Samuel Fletcher (14 de julio de 2003). Matemáticas prácticas. Reverte. ISBN 9788429151121. Consultado el 11 de octubre de 2019. 
  2. Rosell, Antonio Gregorio (1785). Instituciones matemáticas, tomo I. Madrid: Imprenta Real. p. 302. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  3. Verdejo Páez, Francisco (1814). Tratado de agrimensura. Madrid: Imprenta de Repullés. p. 59. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  4. Definición del Diccionario de la Real Academia Española para razón simple de tres números
  5. Castellet,Manuel y Llerena, Irene (1996). Álgebra lineal y geometría. Barcelona: Reverté. p. 205. Consultado el 14 de junio de 2011. 
  6. Definición del Diccionario de la Real Academia Española para razón doble de cuatro números
  7. Castellet,Manuel y Llerena, Irene (1996). Álgebra lineal y geometría. Barcelona: Reverté. p. 326. Consultado el 14 de junio de 2011. 

Enlaces externos

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