Kalkyyli
Kalkyyli on yksinkertaisimmillaan aksioomista ja syntaktisista päättelysäännöistä muodostuva merkkijonoihin liittyvä formaali systeemi.{{lähde}} Aksioomat ja päättelysäännöt (tai laskusäännöt) esittävät, mitä kalkyylissä voidaan päätellä, eli ne esittävät sen, kuinka mielivaltaista lausetta on lupa käsitellä.{{lähde}}
Yleensä vaaditaan, etteivät päättelysäännöt saa olla liian monimutkaisia ollakseen periaatteessa ihmisen käytettävissä.{{lähde}} Tämän ajatellaan usein tarkoittavan sitä, että päättelysääntöjä voi olla vain äärellinen määrä, ja että on oltava mekaanisesti ratkaistavissa, milloin sääntöä on sovellettu oikein, milloin väärin.{{lähde}}
Esimerkki kalkyylistä
Määritellään yksinkertainen kalkyyli:
Määritelmä. Merkki. Symbolit "U" ja "I" ovat merkkejä.
Määritelmä. Merkkijonon induktiivinen määritelmä.
- Jos x on merkki, niin x on merkkijono.
- Jos x ja y ovat merkkijonoja, niin jono xy on merkkijono.
- Kaikki merkkijonot saadaan ehdoilla 1–2.
Aksiooma. "I" voidaan päätellä.
Päättelysääntö 1. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen "U", x ja "U" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä.
Päättelysääntö 2. Jos x voidaan päätellä, niin se merkkijono, joka muodostuu liittämällä yhteen x ja "I" tässä järjestyksessä, voidaan päätellä.
Yllä olevat säännöt ovat hiukan monimutkaiset siksi, että ne huomioivat muuttujan ja merkin nimen välisen eron.{{lähde}} Esimerkiksi päättelysääntöjen käytöstä voimme todeta, että koska "I" voidaan päätellä, voidaan "UIU" päätellä. Tällä perustella myös "UIUI" voidaan päätellä säännön 2 nojalla.{{lähde}}
Kalkyyli ja ristiriitaisuus
Väite kalkyylin ristiriidattomuudesta ymmärretään usein väitteenä, että kaikkia mahdollisia merkkijonoja ei voida johtaa.{{lähde}} Semanttinen perustelu tälle on, että ristiriidasta seuraa jokaisen lauseen totuus, ja toisaalta jotta kalkyylin päättelysysteemi olisi mielekäs, on sen tuotettava tosia lauseita jos aksioomat ovat tosia.{{lähde}} Yllä oleva kalkyyli on tässä mielessä ristiriidaton, koska merkkijonoa "UI" ei voida johtaa aksioomasta eikä päättelysääntöjen avulla muodostetuista merkkijonoista.{{lähde}}
Jos kalkyyli sisältäisi symbolin negaatiolle (ks. predikaattilogiikka), voitaisiin täsmentää yllä käytettyä syntaktista ristiriidan käsitettä.{{lähde}} Tällöin sanoisimme, että jos lause ja sen negaatio ovat pääteltävissä kalkyylissä, on se ristiriitainen.{{lähde}} Jos vielä antaisimme semanttisen teorian kalkyylille, voisimme ottaa käyttöön semanttisen ristiriidan käsityksen, jonka mukaan kalkyyli on ristiriitainen jos se sisältää lauseen joka on sekä tosi ja epätosi.{{lähde}}
Katso myös
- Logiikka
- Matematiikka
- von Wright, Georg Henrik, 1945, Looginen Empirismi; Eräs nykyisen filosofian pääsuunta, suom. Hilppa Kinos, Otava, Helsinki, s. 141–69.
Lähteet
- ↑ Facya 2001 s. 508