Lukujono

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista.

• Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
• Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
• Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä

Tarkemmin lukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

$a:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {K}$

missä $\mathbb {N}$ on luonnollisten lukujen joukko ja $\mathbb {K}$ mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee x_n ≤ x_n+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee x_n < x_n+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Erikoistapauksia

Aritmeettinen lukujono

Aritmeettinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten erotus $d$ on vakio. Aritmeettisen lukujonon yleinen termi on $a_{n}=a_{1}+d(n-1)$.

Geometrinen lukujono

Geometrinen lukujono on sellainen lukujono, jonka peräkkäisten jäsenten osamäärä $q$ on vakio. Jos $q$ on esimerkiksi 1,1, tarkoittaa se sitä, että lukujonon seuraava jäsen on aina 10% edellistään suurempi. Esim. $1,1.1,1.21,1.331,1.4641...$ .

Geometrisen lukujonon yleinen termi on $a_{n}=a_{1}q^{(n-1)}$.

Esimerkkejä

1. $(a_{n})=n$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa $a_{0}=0,a_{1}=1$ ...

• Toisin sanoen $(a_{n})=0,1,2,3,4,5,6,...$

2. $(b_{n})=n^{2}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa $a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=4,...$

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

$\left\{{\begin{matrix}f_{1}&=&1&\\f_{2}&=&1&\\f_{n+1}&=&f_{n}+f_{n-1},&n=2,3,4...\end{matrix}}\right.$

• Täten esimerkiksi $f_{3}=f_{2}+f_{1}=1+1=2,\quad f_{4}=f_{3}+f_{2}=2+1=3$.
• Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

$\left\{{\begin{matrix}a_{0}=2\\a_{n+1}=(a_{n})^{2}\end{matrix}}\right.$

saadaan lukujono 2, 2² = 4, 4² = 16, 16² = 256, 256² = 65536,..., ts. a₀=2, a₁=4, a₂=16, a₃=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Todistetaan väite induktiolla:

Alkuaskel

Olkoon joukko $X=:\{x\}$, joten sen maksimi (ja minimi) on itsestään selvästi luku $x$. Väite siis pätee, kun joukon alkioiden lukumäärä on yksi.

Induktio-oletus

Induktio-oletus: Oletetaan, että mielivaltaisessa joukossa $A$ on $n$ määrä alkiota eli $\#A=:n\in \mathbb {N}$ ja että väite pätee, jolloin joukolla $A$ on olemassa maksimi eli $maxA$.

Induktioaskel

Olkoon $B$ mielivaltainen joukko, jossa on $n+1$ määrä alkiota. Poistetaan $B$:stä mikä tähansa sen alkio $b$. Nyt saadaan joukko $C=:B\setminus \{b\}$, jossa on $n$ määrä alkiota, joten sillä on olemassa induktio-oletuksen nojalla $maxC$. Täten myös joukolla $B$ on olemassa maksimi, joka on $max\{maxC,\ b\}$.

Näin ollen mille tahansa mielivaltaiselle äärelliselle joukolle $D$ ($\#D=:m\in \mathbb {N}$) löydetään aina maksimi.

Vastaavalla tavalla todistetaan minimin olemassaolo.

Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a₂, a₄, a₅, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: a_y1, a_y2, a_y3, a_y4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y₁, y₂, y₃, ...). Tällöin pätee aina: y_n ≥ n.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y₁ on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y₁.

Induktio-oletus: n ≤ y_n.

Induktio-askel: n+1 ≤ y_n+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee y_n+1 ≤ y_n+1, mistä seuraa: n+1 ≤ y_n+1, MOT.

Jokaisella lukujonolla on monotoninen (eli nouseva tai laskeva) osajono

Todistus

Olkoon joukko $S=\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\leq x_{k}\ {\text{kaikilla}}\ k>n\}$.

$1)$ Joukossa $S$ on ääretön määrä alkoita.

$S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}$, jossa $s_{n}\leq s_{n+1}$ kaikilla $n\in \mathbb {N}$. Täten osajono $(x_{s_{n}})$ on kasvava.

$2)$ Joukko $S$ on äärellinen.

$i)$ Joukko $S$ on tyhjä, jolloin valitaan $r_{1}=1$.

$ii)$ Joukko $S$ on epätyhjä, jolloin valitaan $r_{1}=\max S+1$.

Nyt koska $r_{1}\not \in S$, niin on olemassa $r_{2}>r_{1}$ siten, että $x_{r_{1}}>x_{r_{2}}$. Induktiolla voidaan osoittaa, että kaikilla $n\in \mathbb {N}$ on olemassa $r_{n+1}>r_{n}$ siten, että $x_{r_{n}}>x_{r_{n+1}}$. Täten osajono $(x_{r_{n}})$ on aidosti laskeva.

Ollaan siis löydetty lukujonolle $(x_{n})$ kasvava osajono $(x_{s_{n}})$ tai aidosti laskeva osajono $(x_{r_{n}})$ eli joka tapauksessa monotoninen osajono. $\square$

Katso myös

• Sarja
• Cauchyn jono

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.