Rumus Vieta

François Viète matematikawan asal Prancis berhasil menemukan Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

Rumus dasar

Misalkan $n\in \mathbb {N}$ dan $a_{n}\neq 0$. Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat $n$ dengan koefisien bilangan riil $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\,\ldots \,+a_{1}x+a_{0}$$ dapat dinyatakan sebagai $$P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)$$ dengan $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ sebagai berikut: $${\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}\\&{\phantom {=}}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n}+\cdots +x_{n-1}x_{n}\\&{\phantom {=}}\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{n}\end{aligned}}$$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai $${\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{2}x_{i_{j}}\right)\\-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{3}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{k}{\dfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{k}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=\prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}\end{aligned}}$$ Perhatikan bahwa $i_{1}$ sampai dengan $i_{k}$ diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari $k$ akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam $n$ variabel.

Perumuman gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral $R$. Maka, hasil bagi ${\dfrac {a_{i}}{a_{n}}}$ akan termuat pada lapangan pecahan dari $R$ (dan mungkin saja pada $R$ itu sendiri, jika $a_{n}$ merupakan elemen unit pada $R$) dan akarnya $x_{i}$ diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, $R$ merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika $a_{n}$ bukan merupakan pembagi nol dan $P(x)$ dapat difaktorkan menjadi $a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$. Sebagai contoh, fungsi kuadrat $$P(x)=x^{2}-1$$ memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih $x_{1}=1$ dan $x_{2}=3$, sebab $P(x)\neq \left(x-1\right)\left(x-3\right)$. Akan tetapi, $P(x)$ dapat difaktorkan menjadi $\left(x-1\right)\left(x-7\right)$ atau $\left(x-3\right)\left(x-5\right)$, dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}}$ atau ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}$.

Contoh

Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ dari polinomial kuadrat $P(x)=ax^{2}+bx+c$ akan memenuhi persamaan $${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&={\dfrac {c}{a}}\end{aligned}}$$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi $P$; lihat Persamaan kuadrat § Rumus-rumus Vieta.

Akar-akar $x_{1}$, $x_{2}$ dan $x_{3}$ dari polinomial kubik $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ akan memenuhi persamaan $${\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}$$

Bukti

Bukti langsung

Menurut teorema dasar aljabar, jika $x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}$ merupakan akar-akar dari polinomial $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$$ maka $P(x)$ dapat dinyatakan sebagai $$P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$$ Akibatnya, diperoleh persamaan $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$$ Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari $x$.

Secara formal, jika ekspresi $\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)$ dijabarkan, maka terdapat tepat $n$ pilihan biner pada setiap suku (ikutkan $x$ atau $-x_{i}$). Jika $k$ pilihan digunakan untuk memilih $x$ sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa $n-k$ faktor lainnya haruslah $-x_{i}$. Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum $\left(-1\right)^{n-k}\left(x_{1}\right)^{b_{1}}\left(x_{2}\right)^{b_{2}}\cdot \ldots \cdot \left(r_{n}\right)^{b_{n}}x^{k}$, dengan $b_{i}$ bernilai 0 atau 1, tergantung apakah $r_{i}$ menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat $x$ nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam $x_{i}$.

Induksi matematika

Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.

Hipotesis

Misalkan

1. $P(x)$ adalah polinomial berderajat $n$
2. $P(x)$ memiliki akar-akar kompleks $\left\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}$
3. $P(x)$ memiliki koefisien kompleks $\left\{a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}$, dengan $a_{n}\neq 0$

maka $$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)$$

Kasus dasar (n = 2)

Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan $$a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$$ Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh $${\begin{aligned}a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}&=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}\right)\end{aligned}}$$ sehingga kasus dasar terbukti.

Langkah induksi

Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai $n=k$, dengan $k\geq 2$. Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk $n=k+1$. $$P(x)=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$$ Berdasarkan teorema faktor, maka $\left(x-x_{n+1}\right)$ dapat difaktorkan dari $P(x)$, dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan $${\begin{aligned}P(x)&=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}+{\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\dfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\dfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\cdot {\dfrac {x^{n+1}+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\tfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\tfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}}{x-x_{n+1}}}\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\,\ldots \,+c_{1}x+c_{0}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\\&=a_{n+1}\left(x\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right.\\&{\phantom {=a_{n+1}}}\left.-x_{n+1}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right)\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}+x_{n+1}\right)x^{n}+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}x_{n+1}\right)\end{aligned}}$$

Kesimpulan

Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus $n=k+1$, maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang $n\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}$. $$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)$$ Dengan membagi kedua ruas dengan $x_{n}$, maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

Sejarah

Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

Lihat juga

• Bagian primitif dan konten
• Aturan tanda Descartes
• Identitas Newton
• Teorema Gauss-Lucas
• Sifat geometris dari akar polinomial
• Teorema akar rasional
• Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teorema Viète", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations" [Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan], American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 
• Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra [Kursus aljabar] (dalam bahasa Inggris), American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4 
• Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 [Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004] (dalam bahasa Inggris), Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6 

Pranala luar

• Vieta's Formula [Rumus Vieta] (dalam bahasa Inggris)