Operasi biner

operasi biner atau operasi diadik adolah kalkulasi nan manggabuangan duo elemen (disabuik operan) untuak maasiakan elemen lain. Labiah formal, operasi biner adolah operasi dari aritas. Labiah khusus nyo lai, operasi biner jo himpunan adolah operasi nan duo domain jo kodomain adolah himpunan nan samo. Contohnyo nan tamasuak operasi aritmetika dari panambahan, pangurangan, pakalian. Contoh nan lain nyo ditamukan di banyak bidang matematika, saparti panjumlahan vektor, pakalian matriks jo konjugasi dalam grup.

Operasi aritas nan malibaikan babarapo himpunan acok disabuik operasi biner. Misalnyo, pakalian skalar dari ruang vektor nan skalar jo vektor untuak maasiakan vektor, jo produk skalar nan duo vektor untuak maasiakan skalar. Operasi biner tasabuik hanyo fungsi biner. Operasi biner adolah batu kunci dari sabagian gadang struktur aljabar, nan dipalajari di aljabar, khususnyo di semigrup, monoid, grup, gelanggang, bidang, jo ruang vektor.

Istilah

Labiah jalehnyo, sabuah operasi biner pado himpunan S adolah pametaan nan mametakan unsua-unsua dari hasil kali Cartesian S × S untuak S:

Karano hasil dari operasi pado sapasang elemen dari S adolah unsua S, operasi iko disabuik operasi biner tatutuik pado S (atau kadang-kadang dikatoan mamiliki sifek nan tatutuik). Jiko f indak fungsi, tatapi marupoan fungsi parsial, hal iko disabuik operasi biner parsial. Misalnyo, pambagian bilangan real adolah operasi biner parsial karano indak bisa mambagi jo nol: a/0 indak diartian untuak satiok bilangan real a. Namun paralu dicatat bahwa di aljabar jo teori model kaduo operasi biner tasabuik diartian pado semua S × S. Acok di dalam sains komputer, istilah iko digunoan untuak satiok fungsi biner.

Operasi biner adolah dasar dari struktur aljabar nan dipalajari dalam aljabar abstrak: operasi iko paralu bana dalam arti grup, monoid, semigrup, gelanggang, jo banyak lai. Paliang umumnyo, magma adolah satu set basamo jo operasi biner nan diartian di dalamnyo.

Sifek jo contoh

Contoh nan khas dari operasi biner adolah panjumlahan (+) jo pakalian (×) dari bilangan jo matrik sarato komposisi fungsi pado satu set. Contohnyo,

• Pado himpunan bilangan real R, f(a, b) = a + b adolah operasi biner karano jumlah dari duo bilangan real adolah bilangan real.
• Pado himpunan bilangan asli N, f(a, b) = a + b adolah operasi biner karano jumlah dari duo bilangan asli adolah bilangan asli. Iko adolah operasi biner nan babeda dari sabalumnyo karano himpunan nan babeda.
• Pado himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 jo entri-entri bilangan real, f(A, B) = A + B adolah operasi biner karano jumlah dari duo matriks tasabuik adolah matriks 2 × 2 .
• Pado himpunan M(2,2), matriks 2 × 2 jo entri-entri bilangan real, f(A, B) = AB adolah operasi biner karanp produk dari kaduo matriks tasabuik adolah matriks 2 × 2 .
• Untuak himpunan C, misalkan S adolah himpunan sadoalah fungsi h: C → C. Diartian f: S × S → S jo f(h₁, h₂)(c) = h₁ ∘ h₂ (c) = h₁(h₂(c)) untuak sadoalah c ∈ C, komposisi dari duo fungsi h₁ dan h₂ di S. Mako f adolah operasi biner karano komposisi dari duo fungsi adolah fungsi lain pado set C (artinyo, anggota dari S).

Banyak operasi biner baik di aljabar ataupun logika formal basifek komutatif, yoitu mamanuahi f(a, b) = f(b, a) untuak sadoalah elemen-elemen a jo b di S, atau asosiatif, yoitu mamanuahi f(f(a, b), c) = f(a, f(b, c)) untuak sadoalah a, b jo c di S. Banyak juo nan mamiliki elemen identitas jo elemen invers.

Tigo contoh patamo di ateh adolah komutatif jo sadoalah contoh di ateh adolah asosiatif.

Pado himpunan bilangan real R, pangurangan, yoitu, f(a, b) = a − b, adolah operasi biner nan indak komutatif karano, sacaro umum, a − b ≠ b − a. operasi tasabuik juo indak asosiatif, karano, sacaro umum, a − (b − c) ≠ (a − b) − c; misalnyo, 1 − (2 − 3) = 2 tapi (1 − 2) − 3 = −4.

Pado himpunan bilangan asli N, operasi biner eksponensial, f(a,b) = a^b, indak komutatif karano, sacaro umum, a^b ≠ b^a nan indak juo asosiatif karano f(f(a, b), c) ≠ f(a, f(b, c)). Misalnyo, jo mamiliah a = 2, b = 3 jo c = 2, f(2³,2) = f(8,2) = 64, tatapi f(2,3²) = f(2,9) = 512. Jo mangganti himpunan N manjadi himpunan bilangan bulek Z, operasi biner iko manjadi operasi biner parsial karano kini operasi tasabuik indak tajalehan apobilo a = 0 jo b adolah sumbarang bilangan bulek negatif. Pado himpunan N jo Z, operasi iko mamiliki identitas kanan (yoitu 1) karano f(a, 1) = a untuak sadoalah a dalam himpunan tasabuik, tapi 1 bukan marupoan identitas (identitas kiri jo kanan) karano f(1, b) ≠ b pado umumnya.

Pambagian (/), sabuah operasi biner parsial pado himpunan bilangan real atau bilangan rasional, indak komutatif atau asosiatif. Tetration (↑↑), sabagai operasi biner pado bilangan asli indak komutatif atau asosiatif jo indak mamiliki elemen identitas.

Notasi

Operasi biner nan acok ditulih jo manggunoan notasi infix saparti a ∗ b, a + b, a · b atau (oleh penjajaran jo nan indak ado simbol) ab dibandiang jo notasi fungsional nan babantuak f(a, b). Pangkek biasonyo ditulih juo tanpa operator, tapi jo argumen kaduo sabagai superscript.

Operasi biner acok juo manggunoan prefix atau (mungkin lebih sering) notasi postfix, nan kaduonyo dipisahan jo tando kuruang. notasi itu diasbuik juo, tiok-tiok, notasi polandia nan reverse Polish notation.