Przejdź do zawartości

Styczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Konstrukcja stycznej do krzywej

Prosta styczna do krzywej w punkcie to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty i gdy punkt dąży (zbliża się) do punktu po krzywej [1].

Definicje i wzory

[edytuj | edytuj kod]

Niech punkt będzie rzutem punktu na oś i niech styczna przecina oś w punkcie zaś prosta będąca normalną do krzywej przecina oś w punkcie Odcinek skierowany nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany podnormalną. Długość nazywa się długością stycznej, zaś – długością normalnej.

Jeśli krzywa określona jest w pewnym przedziale funkcją ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały gdzie oraz punkt zmienny gdzie ma postać:

zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ma postać:

Wówczas odcięte punktów i są odpowiednio równe: :

Długość stycznej określa wówczas wzór:


zaś długość normalnej:

Mamy również

  • podstyczna:
  • podnormalna:

W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.

Styczna do okręgu

[edytuj | edytuj kod]

W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.

Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

[edytuj | edytuj kod]
Odcinki AB i AC są równe

(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[2][3][4])

Niech punkty i będą punktami styczności do okręgu dwóch prostych przecinających się w punkcie Wówczas

Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.

Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.

Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. styczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04].
  2. 1d. O Najmocniejszym Twierdzeniu Geometrii – II Lic, maturzyści | MiNI Akademia Matematyki [online], akademia.mini.pw.edu.pl [dostęp 2017-11-26] (pol.).
  3. 1010k21.dvi [online], sem.edu.pl [dostęp 2024-04-26].
  4. Serwis Biura Edukacji m.st. Warszawy.