Veprimi binar

Një veprim binar $\circ$ është një rregull për kombinimin e argumenteve $x$ dhe $y$ për të prodhuar $x\circ y$

Në matematikë, një veprimi binar ose një veprim diadik është një rregull për kombinimin e dy elementëve (të quajtur operandë ) për të prodhuar një element tjetër. Më formalisht, një veprim binar është një veprim i aritetit dy.

Më konkretisht, një veprim binar në një grup është një veprim binar, domeini dhe kodomaini i të cilit janë i njëjti grup. Shembujt përfshijnë veprimet e njohura aritmetike të mbledhjes, zbritjes dhe shumëzimit. Shembuj të tjerë gjenden lehtësisht në fusha të ndryshme të matematikës, si mbledhja e vektorëve, shumëzimi i matricës dhe konjugimi në grupe .

Një veprim i aritetit dy që përfshin disa grupe nganjëherë quhet edhe një veprim binar . Për shembull, shumëzimi skalar i hapësirave vektoriale kërkon një skalar dhe një vektor për të prodhuar një vektor, dhe prodhimi skalar merr dy vektorë për të prodhuar një skalar. Veprime të tilla binare mund të quhen gjithashtu funksione binare .

Veprimet binare janë themeli i shumicës së strukturave që studiohen në algjebër, veçanërisht në gjysmëgrupe, monoide, grupe, unaza, fusha dhe hapësira vektoriale .

Terminologjia

Më saktësisht, një veprim binar në një grup $S$ është një hartë e elementeve të prodhimit kartezian $S\times S$ te $S$ :

$\,f\colon S\times S\rightarrow S.$

Vetia e mbylljes e një veprimi binar shpreh ekzistencën e një rezultati për veprimin e dhënë çdo çifti operandësh.

Nëse $f$ atëherë nuk është një funksion, por një funksion i pjesshëm $f$ quhet një veprim binar i pjesshëm . Për shembull, pjesëtimi e numrave realë është një veprim i pjesshëm binar, sepse nuk mund të pjesëtohet me zero : ${\frac {a}{0}}$ është i papërcaktuar për çdo numër real $a$ . Si në teorinë e modelit ashtu edhe në algjebrën klasike universale, veprimet binare kërkohet të përcaktohen në të gjithë elementët e $S\times S$ . Megjithatë, algjebrat e pjesshme përgjithësojnë algjebrat universale për të lejuar veprime të pjesshme.

Vetitë dhe shembujt

Shembuj tipikë të operacioneve binare janë shtimi ( $+$ ) dhe shumëzimi ( $\times$ ) të numrave dhe matricave si dhe përbërjen e funksioneve në një bashkësi të vetme. Për shembull,

• Mbi një bashkësi të numrave realë $\mathbb {R}$, $f(a,b)=a+b$ është një veprim binar meqënëse shuma e dy numrave realë është një numër real.
• Mbi bashkësinë e numrave natyrorë $\mathbb {N}$, $f(a,b)=a+b$ është një veprim binar meqënëse shuma e dy numrave natyrorë është përsëri numër natyror.
• Mbi bashkësinë $M(2,\mathbb {R} )$ e matricave $2\times 2$ me elemente reale, $f(A,B)=A+B$ është një veprim binar meqënëse shuma e dy matricave të tilla është një matricë $2\times 2$ .
• Mbi bashkësinë $M(2,\mathbb {R} )$ e matricave $2\times 2$ me elemente reale, $f(A,B)=AB$ është një veprim binar meqënëse prodhimi i dy matricave të tilla është prapë një matricë $2\times 2$.
• Për një bashkësi të dhënë $C$, le të jetë $S$ bashkësia e të gjitha funksioneve $h\colon C\rightarrow C$. Përkufizimi $f\colon S\times S\rightarrow S$ nga $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ për $c\in C$, përbërja e dy funksioneve $h_{1}$ dhe $h_{2}$ në $S$. Atëherë $f$ është një veprim binar meqënëse përbërja e dy funksioneve është përsëri një funksion mbi bashkësinë $C$ (pra një element i $S$).

Shumë operacione binare me interes si në algjebër ashtu edhe në logjikën formale janë ndërrues, që kënaqin $f(a,b)=f(b,a)$ për të gjithë elementët $a$ dhe $b$ në $S$, ose shoqëruese, të kënaqshme $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ per te gjithe $a$, $b$, dhe $c$ në $S$ . Shumë kanë gjithashtu elementë identiteti dhe elementë të anasjelltë .

Mbi grupin e numrave realë $\mathbb {R}$, zbritja, domethënë, $f(a,b)=a-b$, është një veprim binar i cili nuk është ndërrues pasi, në përgjithësi, $a-b\neq b-a$ . Ai gjithashtu nuk është shoqërues, pasi në përgjithësi, $a-(b-c)\neq (a-b)-c$ ; për shembull, $1-(2-3)=2$ por $(1-2)-3=-4$ .

Mbi bashkësinë e numrave natyrorë $\mathbb {N}$, veprimi binar i fuqisë, $f(a,b)=a^{b}$, nuk është ndërrues pasi, $a^{b}\neq b^{a}$ (krh. Ekuacioni x <sup id="mwoA">y</sup> = y <sup id="mwoQ">x</sup> ), dhe gjithashtu nuk është shoqërues pasi $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$ . Për shembull, me $a=2$, $b=3$, dhe $c=2$, $f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64$, por $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$ . Me ndryshimin e bashkësisë $\mathbb {N}$ te bashkësia e numrave të plotë $\mathbb {Z}$, ky veprim binar bëhet një veprim binar i pjesshëm pasi tani nuk është përcaktuar kur $a=0$ dhe $b$ është çdo numër i plotë negativ. Për secilin grup, ky veprim ka një identitet të djathtë (i cili është $1$ ) që nga koha $f(a,1)=a$ per te gjithe $a$ në grup, i cili nuk është një identitet (identitet i dyanshëm) pasi $f(1,b)\neq b$ në përgjithësi.

Pjesëtimi ( $\div$ ), një veprim binar i pjesshëm në bashkësinë e numrave realë ose racionalë, nuk është komutativ ose asociativ. Tetrimi ( $\uparrow \uparrow$ ), si një veprim binar mbi numrat natyrorë, nuk është ndërrues ose shoqërues dhe nuk ka element identifikues.