不是很理解你的问题但是你是不是在找这个

“马赫原理”这个叫法其实是爱因斯坦发明的，他本人在1918年的表述在数学上看起来还算清晰：

G场（引力场）完全由质量决定，而根据狭义相对论，质量就是能量；而能量形式上由对称能量张量（$T_{\mu\nu}$）决定，因此G场完全由能量张量决定。

这个表述看起来是完全对着他的场方程写的，这如此张量分析的写法显然不会是马赫本人一开始讨论的内容，而是爱因斯坦自行理解总结的——在科学史上这样的冠名大派送也不算奇怪，然而马赫本人对此的表述不幸比较含糊，导致此后很长时间各路豪杰纷纷根据自己的理解来重新表达马赫原理，以至于广义相对论是不是满足马赫原理这种事情大家都不能达成一致。
1993年一些相关专家坐在一起开了个会，后来把会议内容整理成了一本书 Mach's principle: from Newton's bucket to quantum gravity，这书里对于马赫原理的梳理相当详尽，但是大家还是没能达成完全的一致，甚至两位编者对于广义相对论是否遵循马赫原理也还是各自保留意见——不过至少大家充分交换了意见，因此我就以这本书为基准介绍一下相关情况了。下面的内容，包括前面关于爱因斯坦版马赫原理的介绍，都主要参考这本书，就不逐一标注出处了。我精力有限，暂时没法整本书通读一遍，只按照关键词挑了一些内容，楼主或者其他对此感兴趣的坛友可以自己找电子版来看看。

马赫最初讨论这个话题的动机还是比较清晰的，他不喜欢牛顿力学表述里绝对空间和绝对时间这些无法感知的哲学概念，所以打算消除他们。牛顿本人用水桶实验说明只靠桶和水的相对关系不能决定系统的状态，所以他认为要考虑相对“绝对空间”的运动状态才行；马赫的意见是可以用远方星体为基准来确定系统的状态，不需要引入绝对空间。当然这个方案就意味着星体对水和桶有作用，从而影响了水和桶的运动状态，物体的惯性运动应该是由宇宙间其他物质与之作用决定的。马赫本人似乎没有明确说过这个作用是引力还是什么新的作用，虽然从他用“要是桶壁有几里厚没人知道会发生什么”这个表述看他应该觉得引力对此由贡献。

无论如何，马赫本人没有系统提出一个新的力学框架，他到底是只打算把牛顿力学换个哲学表述还是真的在探索一种可能给出新现象的新惯性机制都不好说，反正直到1993年大家还在辩经。至少爱因斯坦觉得在探索广义相对论的过程中，马赫的这个想法给了他很大启发，在广义相对论还没成型的探索期，他就在以“引力场应该完全由质量确定”为指导原则进行探索，后来1918年正式称之为马赫原理的时候，之所以提及$T_{\mu\nu}$之前还是用质量说了一遍，大概也是早期观念的遗留（那个时候很多概念区分也不是很精确，以现在的视角看这种“质量就是$T_{\mu\nu}$”的说法难免过于怪，毕竟能动张量包含的东西多了，什么能量动量应力，和质量等同完全是“重新定义质量”）——但是，也很不幸，哪怕是爱因斯坦自己这个版本，也和广义相对论不一致。

虽然前面我说这个版本看起来就是照着场方程写的，但是场方程是一个微分方程，哪怕确定源项$T_{\mu\nu}$，还需要边界条件才能给出解。而且哪怕没有物质，真空场方程一样有解，还不止一个，这不仅违反爱因斯坦本人的表述，在很多人看来也违反了马赫的原始理念。毕竟广义相对论中，物体的惯性运动（走测地线）是由时空结构决定的，这个情况等于说其他物质不能完全确定时空结构，因而不能完全决定某个物体的惯性行为，还是要保留某种抽象的时空结构。

爱因斯坦本人对此做过一些徒劳的尝试，比如他试图要求宇宙闭合来回避边界条件问题，甚至他引入宇宙学常数的一部分动机也是为了解决这个，他一开始期望带宇宙学常数的场方程没有真空解——这个期望很快就被德西特打破了，他给出了非零宇宙学常数真空场方程的德西特时空解。爱因斯坦试图从中找出些错误，但最终不得不放弃，宣布这个推导确实没问题。（几年之后他还试着对量子力学这么干一次，落得了一样的下场。）

此后的岁月里，爱因斯坦就对马赫原理的热情不高了，不过这个话题一旦起了头就不免吸引更多人来探讨。另一方面，广义相对论不仅创作过程受到马赫思想很大影响，成型状态看起来也回应了马赫的关切。这个理论中物质惯性运动的具体形式确实要依赖于整个时空的物质分布，而马赫的“几里厚的桶壁”在广义相对论中也确实带来了不同于牛顿力学的新结果：旋转的重物会拖拽附近的时空一起转，使得附近惯性运动的物体运动形式偏离牛顿力学的预测（如Lense-Thirring进动）。不过要测量这个效应，马赫的桶壁恐怕还是太轻了，哪怕整个地球自转造成的参考系拖曳效应都微小到必须非常精密的科学设备才能测出来（比如前后耗时几十年的引力探测器B，这实验砸了七亿多美元，结果还因为没考虑到一些静电效应导致精度大降）。

因此，对很多物理学介绍来说，如果不较真，完全可以粗略讨论一下马赫的看法，以及他对水桶实验的猜想，再说一下广义相对论对此的回应和预言，就比较满意了，物理学毕竟不是解经学，马赫怎么想乃至爱因斯坦怎么想其实也没那么重要。虽然这处理有点不尊重科学史，不过科学家们搞冠名大派送的时候也没尊重过不是。

当然，还是有人较真的，至少做科学史的需要认真梳理这个过程，分析思想观念的演变。此外，还有一些物理学家对马赫的讨论很感兴趣，尝试给出自己理解版本的马赫原理，而这时候大家就开始发挥起来了。举例来说，说马赫认为某个物质的惯性受到所有其余物质的影响，这里的“惯性”到底是指什么？如果是惯性运动，那广义相对论看起来也挺符合马赫原理的，比如Barbour就这么认为；如果是惯性质量，那么马赫原理会给出一个超出广义相对论的预言，也就是物质分布不均匀会导致惯性质量在各个方向上不同，这是Narlikar的看法，至少我们所处的位置有银河系这么个大的各向不均匀物质团，还是能测量一下这个效应有没有的（当然啦，目前的结论是没有）。

以我来看，虽然他们对于马赫的原始意图有些兴趣，但是他们对于建立一个新理论的热情看起来更大，马赫原理很多时候成了一个“如果引力理论不是广义相对论，那还能是什么样”的启发剂。而von Borzeszkowski和Wahsner更是认为爱因斯坦误解了马赫的观点——当然这也没耽误爱因斯坦按照他自己的理解最终走向广义相对论。在这个意义上，马赫的表述很久以前催生了新生的引力理论，在此之后依然如此。虽然他本人的表述难以明确数学化，但是他确实抓住了一些关键节点，使得将之数学化的努力本身就能为可能的理论提供启发。

总的来说，我不认为马赫本人的想法能严格的数学化，他只是表述了一些方向性的思考（或者说建议）。将之具体化至某个数学形式有着很多方法（参见那本书），这些数学形式与其说是马赫原理，还不如说是“马赫-某物理学家”原理。（当然了，物理学家的学术传统是冠名这种事要谦虚，于是大家都去掉了自己的名字以示谦虚，也不知道马赫本人会不会领这个情。）而对于广义相对论来说，马赫原理已经结束了他作为引导员的使命，这个理论体系不再依赖于某种对马赫观点的理解（我觉得入门教材中甚至可以完全不提这个内容免得让人迷糊），而裁决其命运的，也不是某种哲学观点，而是我们对可观测的引力效应的精密测量了（至少目前为止，广义相对论的表现非常理想）——我想至少这一点，作为实证主义哲学家的马赫会满意的。

也许只是坐标变换的广义协变性(covariance).

Weinberg《引力与宇宙学》对这个问题有精到评注：