Sylogismus

Sylogismus (řecky: συλλογισμός – „rozhodnutí,“ „logický důsledek“; obvykle kategorický sylogismus) je druh logického tvrzení, ve kterém je jeden z výroků (závěr) odvozen z ostatních dvou předpokladů (premis) určité formy. Aristotelés definoval sylogismus v Prvních analytikách (24b18–20). Navzdory této velmi všeobecné definici se nejprve omezil na kategorický sylogismus (a později na modální sylogismus). Sylogismus je v podstatě deduktivním zdůvodňováním, kde jsou fakta určena (determinována) kombinací existujících tvrzení na rozdíl od induktivního zdůvodňování, kde jsou fakta určována opakujícím se pozorováním.

Základní struktura

Sylogismus (dále kategorický, pokud nebude řečeno jinak) se skládá ze tří částí: hlavní předpoklad (propositio maior, maior premise), vedlejší předpoklad (propositio minor, minor premise) a závěru. V Aristotelově pojetí každý z předpokladů je ve formě „Některá/všechna A náleží k B“, kde „Některá/všechna A“ jsou jedním výrazem a „náležející k B“ jsou jiným, nicméně moderní logici připouštějí jisté variace. Každý z těchto předpokladů má jeden výraz společný se závěrem: hlavní předpoklad je hlavní výraz (tzn. predikát) závěru; vedlejší předpoklad je vedlejším výrazem (podmětem) výsledku. Například:

Hlavní předpoklad: Všichni lidé jsou smrtelní.

Vedlejší předpoklad: Sokrates je člověk.

Závěr: Sokrates je smrtelný.

Každý z těchto tří výrazů představuje kategorii, v tomto případě „člověk“, „smrtelný“ a „Sokrates“. „Smrtelný“ je hlavním výrazem; „Sokrates“ je vedlejším výrazem. Předpoklady mají také jeden výraz společný s každým ostatním, který je známý jako společný výraz (terminus medius, middle term) – v našem příkladu to je „člověk“. Zde je hlavní předpoklad všeobecný a vedlejší předpoklad specifický, avšak nemusí tomu tak být vždy. Například:

Hlavní předpoklad: Všechny smrtelné věci zemřou.

Vedlejší předpoklad: Všichni psi jsou smrtelné věci.

Závěr: Všichni psi zemřou.

Zde je hlavním předpokladem „zemřou“, vedlejším předpokladem jsou „psi“ a společným předpokladem je „[být] smrtelnou věcí“. Oba předpoklady jsou všeobecné.

Sylogismus je možno zneužít na logický klam.

Druhy sylogismů

Vztahy mezi čtyřmi typy výroků v logickém čtverci
(Černá pole jsou prázdná,červená pole neprázdná.)

Přestože je nekonečný počet možných sylogismů, existuje jen konečný počet jejich logicky odlišných druhů. Roztřiďme si je a očíslujme dále. Všimněte si, že sylogismus výše má abstraktní vzorec:

Hlavní předpoklad (premisa): Všechna M jsou P.

Vedlejší předpoklad: Všechna S jsou M.

Závěr (konkluze): Všechna S jsou P.

(Poznámka: M – střed (medián), S – předmět (subjekt), P – tvrzení (predikát). Dále viz podrobnější výklad.)

Předpoklady (podmínky) a závěr sylogismu může být kteréhokoli ze čtyř typů, které se značí písmenným kódem tak, že první velké písmeno slova je pro obecné a druhé pro dílčí. Význam písmen dává tabulka:

kód	kvantifikátor	předmět (subjekt)	vazba	tvrzení (predikát)	druh	příklad
a	všechna	S	jsou	P	univerzální pozitiv	Všichni lidé jsou smrtelní.
e	Žádné	S	není	P	univerzální negativ	Žádní lidé nejsou dokonalí.
i	Některá	S	jsou	P	dílčí pozitiv	Někteří lidé jsou zdraví.
o	Některé	S	nejsou	P	dílčí negativ	Někteří lidé nejsou chytří.

V analýzách nejvíce Aristoteles používá písmena A, B a C (přesněji: řecká písmena alfa, beta a gama) jako zástupce pojmů spíše, než aby uváděl konkrétní příklady, což byla tehdy novinka. Je tradicí starších formulací používat je spíše než jsou jako vazbu, tedy Všechno (veškeré) A je B spíše než Všechna A (Áčka) jsou B (Béčka). Užívají se dále znaky a, e, i, o jako vkládané operátory umožňující kategorická tvrzení zapsat zhuštěně:

vzorec	zkratka
Všechna A jsou B	AaB
Žádné A není B	AeB
Některá A jsou B	AiB
Některá A nejsou B	AoB

Tento dílčí sylogický vzorec má jmenné synonymum BARBARA (viz dále) a může být rozepsán (zapsán řádně) jako:

BaC, AaB → AaC.

Písmeno S je předmětem (subjektem) závěru, P je tvrzení závěru (konkluze) a M je střed (středový, ústřední pojem). Hlavní předpoklad (premisa) pojí (váže) M s P a vedlejší předpoklad spojuje M se S. Tedy střed může být buď předmětem, nebo předpokladem každé podmínky, ve které se vyskytne. Odlišná umístění hlavního, vedlejšího a středového pojmu dává další třídění sylogismů, zvané vzor (ang. figure). Se společným závěrem S-P tyto 4 vzory jsou:

	vzor 1	vzor 2	vzor 3	vzor 4
Hlavní předpoklad:	M–P	P–M	M–P	P–M
Vedlejší předpoklad:	S–M	S–M	M–S	M–S

Sestavíme-li to všechno dohromady, získáme 256 možných druhů sylogismů (nebo 512, jestliže zaměňujeme i pořadí podmínek – ačkoliv tím nedostaneme žádný typ logicky odlišný). Každý předpoklad a závěr může být typu A, E, I nebo O a sylogismus může být tak kteréhokoli ze čtyř vzorů. Sylogismus se dá popsat uvedením písmen pro předpoklad i závěr, následně s připojením čísla vzoru. Například sylogismus BARBARA je AAA-1 neboli "A-A-A v prvním vzoru".

Převážná většina z 256 možných typů sylogismu je neplatných (závěr nevyplývá logicky z předpokladů). Následující tabulka ukazuje platné formule. Některé z nich jsou někdy považované za případy existenčního klamu, tzn. jsou neplatné pokud pojednávají o prázdných kategoriích. Tyto sporné vzorce jsou psané kurzívou.

vzor 1	vzor 2	vzor 3	vzor 4
Barbara	Cesare	Datisi	Calemes
Celarent	Camestres	Disamis	Dimatis
Darii	Festino	Ferison	Fresison
Ferio	Baroco	Bocardo	Calemos
Barbari	Cesaro	Felapton	Fesapo
Celaront	Camestros	Darapti	Bamalip

Písmena A, E, I a O se užívají již od středověké scholastiky k sestavení těchto mnemotechnických jmenných vzorců jako např. 'Barbara' místo AAA nebo 'Celarent' za EAE.

U každého předpokladu (premisy) a závěru je zkratka jako popis tvrzení. Tak např. v AAI-3 pro předpoklad "Všechny čtverce jsou pravoúhelníky" dostáváme „MaP“; symboly znamenají, že první pojem („čtverec“) je prostřední, druhý pojem („pravoúhelník“) je predikát závěru a vztah mezi pojmy je vyznačen jako „a“ (Všechna M jsou P).

Následující tabulka ukazuje všechny sylogismy, které jsou skutečně (zásadně) různé. Podobné sylogismy se shodují v typově shodných premisách (předpokladech) zapsaných různými způsoby. Například „Některá zvířata jsou mláďata“ (SiM v Darii) může být formulovaný také jako „Některá mláďata jsou zvířata“ (MiS v Datisi).

V následujících množinových Vennových grafech černá oblast vyznačuje žádný a červená alespoň jeden prvek.