Deformace

Pojmem deformace tělesa rozumíme změnu jeho tvaru. Těleso mění tvar v důsledku působení síly. Silové působení mění vzájemné polohy atomů, ze kterých se těleso skládá. V případě, že se po odstranění působící síly těleso vrátí do původního tvaru, mluvíme o pružné (elastické) deformaci. Pružné deformace se vyskytují u pružných látek. V důsledku působení sil může rovněž dojít k nevratným změnám v poloze atomů tělesa. Tvar tělesa se po odstranění působící síly již nevrátí do původního stavu. V takovém případě mluvíme o nepružné deformaci popř. úžeji o plastické deformaci. Tyto deformace lze pozorovat např. u plastických látek.

Zůstávají-li během deformace body původně ležící v jedné rovině ve stejné rovině i po deformaci, označuje se taková deformace jako rovinná.

Síly působící na těleso lze rozlišovat podle druhu napětí, které v tělese vyvolávají na tahové, tlakové, smykové, ohybové nebo torzní. Tyto síly bývají také označovány jako deformační síly.

Neuvažuje-li se při popisu tělesa jeho deformace, mluvíme o tuhém tělesu.

Deformace v mechanice kontinua

V mechanice kontinua lze deformace popsat srovnáním deformovaného a nedeformovaného stavu kontinua.

V čase $t=0$ můžeme popsat polohu částic kontinua jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},0)=x_{j}$ . V čase $\Delta t$ pak bude poloha odpovídajících částic určena jako $y_{j}=y_{j}(x_{i},\Delta t)$ . Lze definovat vektor posunutí $u_{i}$ jako

u_{i}=y_{i}-x_{i}

Vektor posunutí má tedy počátek v místě, kde se částice nacházela na počátku sledovaného pohybu a konec v místě konečné polohy částice. Pomocí vektoru posunutí je možné deformační pohyb popsat jako

y_{j}=x_{j}+u_{j}(x_{i})

Tento vztah však v sobě zahrnuje nejen deformaci, ale také posunutí a otáčení kontinua jako celku. Pro popis deformací by však bylo vhodné získat z tohoto vztahu pouze část, která je za deformace odpovědná. Toho se dosáhne na základě předpokladu, že při deformacích dochází ke změnám vzdáleností částic kontinua.

Uvažujeme-li libovolný bod $x_{j}$ kontinua a v jeho okolí bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ , pak na konci deformačního pohybu se bod z $x_{j}$ přesune do bodu $y_{j}$ a bod $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ do bodu $y_{j}+\mathrm {d} y_{j}$ . Označíme-li vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}$ jako $u_{j}$ a vektor posunutí odpovídající bodu $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ jako $u_{j}+\mathrm {d} u_{j}$ , a uvažujeme-li pouze blízké okolí bodu $x_{j}$ , můžeme použít zápis

\mathrm {d} y_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\mathrm {d} u_{j}=\mathrm {d} x_{j}+\left({\frac {\mathrm {d} u_{j}}{\mathrm {d} x_{i}}}\right)\mathrm {d} x_{i}

Na počátku děje je vzdálenost mezi body $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}}}$ . Na konci děje je vzdálenost částic nacházejících se původně v bodech $x_{j}$ a $x_{j}+\mathrm {d} x_{j}$ určena jako ${\sqrt {\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}}}$ (kde bylo použito Einsteinovo sumační pravidlo). K popisu deformace kontinua v okolí bodu, jehož počáteční souřadnice jsou $x_{j}$ a konečné $y_{j}$ , se použije rozdíl čtverců uvedených délek, tzn. výraz

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}

Úpravou předchozích vztahů pak dostáváme

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2\varepsilon _{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}

kde byl zaveden tzv. tenzor velkých deformací

\varepsilon _{lk}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}+\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)\right]

Tenzor velkých deformací je funkcí souřadnic, tzn. $\varepsilon _{lk}=\varepsilon _{lk}(x_{i})$ , a je to symetrický tenzor druhého řádu.

Tenzor malých deformací

Jsou-li deformace malé, jsou malé také změny vektoru posunutí $u_{i}$ se souřadnicemi $x_{j}$ , tzn. jsou malé také parciální derivace ${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}$ . V takovém případě je v tenzoru velkých deformací člen $\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{l}}}\right)\left({\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)$ malý ve srovnání s členy ${\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}$ a ${\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}$ a můžeme jej zanedbat. V takovém případě lze deformaci popsat tzv. tenzorem malých deformací

e_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial x_{k}}}\right)

Pro malé deformace tedy platí

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2e_{lk}\mathrm {d} x_{l}\mathrm {d} x_{k}\,

Vyjdeme-li z deformovaného stavu, lze tenzor malých deformací zavést vztahem

{\overline {e}}_{lk}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{k}}{\partial y_{l}}}+{\frac {\partial u_{l}}{\partial y_{k}}}\right)

a platí

\mathrm {d} y_{j}\mathrm {d} y_{j}-\mathrm {d} x_{j}\mathrm {d} x_{j}=2{\overline {e}}_{lk}\mathrm {d} y_{l}\mathrm {d} y_{k}

Pro malé deformace jsou velikosti posunů $\mathrm {d} x_{i}$ v nedeformovaném stavu a jim odpovídající $\mathrm {d} y_{j}$ v deformovaném stavu přibližně stejné a není tedy nutno rozlišovat mezi tenzory malých deformací v nedeformovaném a deformovaném stavu, což znamená, že tenzory malých deformací $e_{ij}$ a ${\overline {e}}_{ij}$ můžeme považovat za ekvivalentní.

Často se používá rozklad tenzoru $e_{ij}$ na izotropní část a deviátor

e_{ij}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}+\left(e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}\right)

,

kde $e_{I}$ je stopa tenzoru malých deformací a $\delta _{ij}$ je Kroneckerovo delta. Označuje se

e_{ij}^{(s)}={\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}

jako izotropní část a

e_{ij}^{(d)}=e_{ij}-{\frac {e_{I}\delta _{ij}}{3}}

jako deviátor deformací.

Význam složek tenzoru malých deformací

Význam diagonálních složek tenzoru $e_{ij}$ lze určit následující úvahou.

Výraz $\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{1}$ je čtverec délky zvoleného elementu látky před deformací. Použijeme pro něj označení $l_{0}^{2}$ . Podobně pro výraz $\mathrm {d} y_{i}\mathrm {d} y_{i}$ , který označuje čtverec délky zvoleného elementu po deformaci, použijeme označení $l^{2}$ . Potom platí

{\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}=2e_{11}

Pro malé deformace je $l_{0}{\dot {=}}l$ , takže lze levou stranu pomocí přibližného vztahu ${\frac {l^{2}-l_{0}^{2}}{l_{0}^{2}}}={\frac {(l-l_{0})(l+l_{0})}{l_{0}^{2}}}{\dot {=}}{\frac {(l-l_{0})2l_{0}}{l_{0}^{2}}}=2{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}$ , čímž získáme

e_{11}{\dot {=}}{\frac {l-l_{0}}{l_{0}}}

Složka tenzoru $e_{11}$ malých deformací tedy odpovídá relativní změně délky elementu, který byl původně rovnoběžný s osou $x_{1}$ kartézské soustavy souřadnic. Podobně složky $e_{22}$ a $e_{33}$ přestavují relativní změny délek elementů, které byly původně rovnoběžné s osami $x_{2}$ a $x_{3}$ .

Pro určení významu nediagonálních složek lze vyjít z rovinné deformace v rovině dané kartézskými osami $x_{1},x_{2}$ . Tenzor malých deformací má v takovém případě nenulové pouze složky $e_{11},e_{22},e_{12}=e_{21}$ . Uvažujeme-li deformaci, při které jsou nenulové pouze složky se smíšenými indexy, tzn. $e_{11}=e_{22}=0,e_{12}\neq 0$ , pak element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{1}$ , tzn. lze jej před deformací popsat vektorem $(\mathrm {d} x_{1},0)$ , lze po deformaci popsat vektorem $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$ , kde $u_{2}$ je složka vektoru posunutí podél osy $x_{2}$ . Pro úhel $\alpha _{1}$ mezi vektory $(\mathrm {d} x_{1},0)$ a $\left(\mathrm {d} x_{1},{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\mathrm {d} x_{1}\right)$ platí

\operatorname {tg} \,\alpha _{1}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}

Podobně lze pro element, který byl před deformací rovnoběžný s osou $x_{2}$ , který je možné před deformací popsat vektorem $(0,\mathrm {d} x_{2})$ , určit složky tohoto elementu po deformaci jako $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$ . Pro úhel $\alpha _{2}$ mezi vektory $(0,\mathrm {d} x_{2})$ a $\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\mathrm {d} x_{2},\mathrm {d} x_{2}\right)$ platí

\operatorname {tg} \,\alpha _{2}={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}

Pro malé deformace lze použít aproximaci $\operatorname {tg} \,\alpha _{i}\approx \alpha _{i}$ , což umožňuje psát

2e_{12}={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}

Smíšená složka tenzoru deformace $e_{12}$ tedy odpovídá polovině úhlu $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ , o který se při deformaci změní pravý úhel mezi elementy původně rovnoběžnými s kartézskými osami $x_{1}$ a $x_{2}$ . Úhel $\alpha _{1}+\alpha _{2}$ se nazývá úhel smyku.

V obecném případě, kdy nejde o rovinnou deformaci, mohou mít elementy původně rovnoběžné s první nebo druhou kartézskou osou po deformaci také složky ve směru třetí osy. Tyto složky jsou však tak malé, že nemají podstatný vliv na úhel mezi elementy po deformaci. Složka $e_{12}$ má tedy i v takovém případě stejný význam jako v případě rovinné deformace.

Obdobným způsobem lze položit složku $e_{13}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi první a třetí souřadnicovou osou a složku $e_{23}$ rovnu polovičnímu úhlu smyku mezi druhou a třetí souřadnicovou osou.

Objemová a tvarová deformace

Uvažujme v diferenciálním okolí bodu, ve kterém známe složky $e_{ij}$ , kvádr, jehož hrany mají před deformací délky $l_{01},l_{02},l_{03}$ , přičemž tyto hrany jsou rovnoběžné se směry hlavních os deformace. Daný kvádr zůstane kvádrem i po deformaci (za předpokladu malých deformací), pouze dojde ke změně délek jeho hran na $l_{1},l_{2},l_{3}$ . Při vhodné volbě souřadnicové soustavy, tzn. osy souřadnicové soustavy leží ve směru hlavních os deformace (na jednotlivé stěny kvádru tedy působí pouze čistý tah nebo čistý tlak), platí

{\frac {l_{i}-l_{0i}}{l_{0i}}}=e_{ii}

pro $i=1,2,3$ .

Po deformaci lze tedy délky hran vyjádřit jako $l_{i}=l_{0i}+l_{0i}e_{ii}$ . Pro objem kvádru po deformaci pak při zanedbání veličin vyšších řádů dostáváme

V=l_{1}l_{2}l_{3}=(l_{01}+l_{01}e_{11})(l_{02}+l_{02}e_{22})(l_{03}+l_{03}e_{33})=l_{01}l_{02}l_{03}+l_{01}l_{02}l_{03}(e_{11}+e_{22}+e_{33})=V_{0}+V_{0}e_{I}

což bývá obvykle zapisováno jako

e_{I}={\frac {V-V_{0}}{V_{0}}}

,

kde $V_{0}$ je objem tělesa před deformací a $V$ je objem tělesa po deformaci. Stopa $e_{I}$ tedy popisuje relativní objemovou změnu, tedy objemovou deformaci. Vzhledem k tomu, že stopa izotropní části $e_{ij}$ je stejná jako stopa celého tenzoru $e_{ij}$ , odpovídá objemová deformace izotropní části objemové deformaci celého tenzoru deformací. Stopa deviátoru $\operatorname {Tr} \,e^{(d)}$ je nulová, tzn. relativní objemová změna odpovídající deviátoru tenzoru malých deformací je také nulová. Deviátor tedy nezpůsobuje změny objemové, ale pouze změny tvaru, tedy tvarovou deformaci.

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu deformace na Wikimedia Commons