Normalvektor

En normalvektor er en vektor, der er normal i forhold til en anden vektor. I planen og det tredimensionale rum vil dette sige vinkelret på den anden vektor, men begrebet kan let generaliseres til flere dimensioner end tre.

I tre dimensioner kan man for to vektorer ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ og ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ beregne en fælles normalvektor vha. deres krydsprodukt:

{\vec {n}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}\\a_{3}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{3}\\a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\end{pmatrix}}

Denne normalvektoren har en længde, der er lig arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. Se en nærmere forklaring på siden om krydsprodukt.

Planens ligning

En normalvektor kan benyttes i forbindelse med bestemmelse af en ligning for en plan i tre dimensioner. En plan kan beskrives som en mængde af uendeligt mange punkter bredt ud på en uendelig stor flade, og man kan således beskrive planen som alle de punkter $P$ hvor skalarproduktet mellem normalvektoren og vektor fra et andet punkt i planen $P_{0}$ til dette punkt $P$ til er nul. Dette kommer af at at normalvektoren står vinkelret på planen, samt at skalarproduktet mellem to vinkelrette vektorer (en vinkel på 90 grader) giver nul, da $\cos(90)=0$ . Dette er altså en helt generel beskrivelse af samtlige punkter i en uendeligt stor flade, da der ikke er lagt nogle yderligere bånd på denne definition. Matematisk kan dette udtrykkes ved:

\{P\mid {\vec {n}}\cdot {\overrightarrow {P_{0}P}}=0\}

Hvis vi definerer $P=(x,y,z)$ og $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ , og og normalvektoren som ${\vec {n}}=(a,b,c)$ , bliver ${\overrightarrow {P_{0}P}}=(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})$ , og ud fra definitionen af skalarproduktet samt førnævnte definition på planen bliver planens ligning: