Jakokulma

Jakokulma on matemaattinen menetelmä, jolla voidaan jakaa kokonais- tai reaaliluku toisella kokonais- tai reaaliluvulla. Samankaltaista menetelmää eli algoritmia käytetään, kun jaetaan polynomeja keskenään. Suomessa ei jakokulman opettaminen ole ollut pakollista vuoden 2014 jälkeen.

Jakokulmasta on eri maissa ja eri aikoina ollut käytössä useita erilaisia muotoiluja, joissa eroavat toisistaan siinä, mihin kohtaan jaettava, jakaja ja osamäärä merkitään. Periaate, jolla jakolasku suoritetaan, on kuitenkin kaikissa versioissa sama. Seuraavassa käytetään ns. amerikkalaista eli angloamerikkalaista jakokulmaa, jota 1970-luvulta lähtien on Suomenkin kouluissa käytetty. Tämän algoritmin kehitti Briggsin logaritmistakin tunnettu Henry Briggs vuoden 1600 tienoilla. Siinä esimerkiksi osamäärä 900 jaettuna 4 on 225 merkitään näin:

${\begin{matrix}\;\,225\\4{\overline {\vert 900}}\end{matrix}}$

Muita muotoiluja käsitellään lyhyesti jäljempänä kappaleessa Muita merkintätapoja.

Algoritmi

Algoritmin muistisääntöjä ovat esimerkiksi: "jaa, kerro, vähennä, luku alas pudota, alusta taas aloita" ja "jaa, kerro, vähennä, pudota".

$4{\overline {\vert 900}}$

1. Jaa – etsitään jakajan (4) suurin monikerta, joka on pienempi kuin jaettavan ensimmäinen numero (9). Jos jakaja on suurempi kuin jaettavan ensimmäinen numero, otetaan mukaan toinenkin numero (tässä se olisi 0). Tässä tapauksessa 9 on kuitenkin suurempi kuin 4 ja sen suurin 9:ää pienempi monikerta on 8. Kirjoitetaan tämä monikerran kerroin (8 / 4 = 2) viivan yläpuolelle ensimmäisen numeron kohdalle osamääräksi.

${\begin{matrix}2\\4{\overline {\vert 900}}\\\end{matrix}}$

2. Kerro – kerrotaan osamäärän ensimmäisellä numerolla (2) jakaja (4) ja merkitään tulo (2*4 = 8) jaettavan alle.

${\begin{matrix}2\\4{\overline {\vert 900}}\\{\underline {8}}\\\end{matrix}}$

3. Vähennä – vähennetään jaettavan ensimmäisestä numerosta (9) tulo (8). Saadaan erotukseksi 1.

${\begin{matrix}2\\4{\overline {\vert 900}}\\{\underline {8}}\\\;\,1\end{matrix}}$

4. Luku alas pudota – pudotetaan jaettavan seuraava numero (0) erotuksen viereen.

${\begin{matrix}2\\4{\overline {\vert 900}}\\{\underline {8}}\\\;\,10\end{matrix}}$

5. Alusta taas aloita – nyt jaettavaksi otetaan viivan alle saatu luku (10). Sitä pienempi 4:n suurin monikerta on 2*4 = 8. 2 siirretään osamääräksi, kerrotaan sillä jakaja 4 ja sijoitetaan tulo jaettavan (10) alle. Vähennetään.

${\begin{matrix}\quad 22\\4{\overline {\vert 900}}\\{\underline {8}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\end{matrix}}$

Toistetaan näin kohtia 1-5 kunnes päästään viimeiseen lukuun asti. Jos viimeinen erotus on muu kuin 0, voidaan merkitä jakojäännös (katso alla) tai jatkaa desimaaliosiin (katso alla).

${\begin{matrix}\quad 225\\4{\overline {\vert 900}}\\{\underline {8}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\quad \;\,{\underline {20}}\\\qquad 0\end{matrix}}$

Jakojäännös

Jos erotukseksi jää muu kuin 0, kun pudotettavia ei enää ole, on erotus jaettavan jakojäännös.

9 / 2 = 4 jää 1:

${\begin{matrix}\quad 4\\2{\overline {\vert 9}}\\{\underline {8}}\\\;\,1\end{matrix}}$

Desimaalit

Algoritmia voidaan jatkaa desimaaleihin, jos ei haluta jakojäännöstä. Tällöin pudotetaan erotuksen viereen jaettavasta 0 ja merkitään väliin pilkku.

9 / 2 = 4,5:

${\begin{matrix}\quad 4,5\\2{\overline {\vert 9,0}}\\{\underline {8}}\\\,10\\\,{\underline {10}}\\\,0\\\end{matrix}}$

Jako kaksi- tai useampinumeroisella jakajalla

Animaatio jakolaskusta kaksinumeroisella jakajalla

Jakokulman avulla jakolasku voidaan suorittaa silloinkin, kun jakaja on kaksi- tai useampinumeroinen. Seuraavassa esimerkissä luku 1260256 jaetaan luvulla 37. Ensin tehtävä kirjoitetaan seuraavaan muotoon:

              
    37)1260257

Jaettavan (tässä tapauksessa 1260257) alusta otetaan niin monta numeroa, että niiden muodostama luku on suurempi tai yhtä suuri kuin jakaja (37). Luvut 1 ja 12 ovat pienempiä kuin 37, mutta 126 on suurempi. Sen jälkeen etsitään suurin jakajan (37) monikerta, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tämä luku (126). Tässä tapauksessa 3 · 37 < 126, mutta 4 · 37 > 126. Saatu tulo 111 kirjoitetaan luvun 126 alle ja kerroin 3 ylös tulosriville osamäärän ensimmäiseksi numeroksi:

         3    
    37)1260257
       111

On huomattava, mille sarakkeille numerot kirjoitetaan. Osamäärän ensimmäinen numero (tässä tapauksessa 3) kuuluu saman sarakkeeseen (kymmenientuhansien kohdalle) kuin jaettavan alusta valitun luvun (126) viimeinen numero (6), ja samaan sarakkeeseen merkitään myös luvun 111 viimeinen numero.

Luku 111 vähennetään sitten sen yläpuolella olevan luvun alkupään numeroiden muodostamasta luvusta. Kauempana oikealla olevat numerot jätetään tässä vaiheessa huomioon ottamatta:

         3    
    37)1260257
       111
        15

Tämän jälkeen jaettavan seuraava numero kopioidaan alas saadun erotuksen 15 jatkoksi:

         3    
    37)1260257
       111
        150

Tämän jälkeen menetellään samoin kuin edellä. Luvusta 150 vähennetään suurin jakajan (37) monikerta joka on pienempi tai yhtä kuin 150. Se on 148, joka on 4 · 37, minkä vuoksi numero 4 lisätään tulosriville. Sen jälkeen luku 148 vähennetään 150:stä, ja saadun erotuksen loppuun lisätään jakajan seuraava numero:

         34   
    37)1260257
       111
        150
        148
          22

Suurin luvun 37 monikerta, joka on pienempi tai yhtä kuin 22, on kuitenkin 0 · 37 = 0. Koska 22 - 0 on edelleen 22, tämä vähennyslasku jätetään yleensä merkitsemättä. Sen sijaan jakajasta kopioidaan alas saman tien vielä seuraavakin numero:

         340  
    37)1260257
       111
        150
        148
          225

Näin jatketaan, kunnes jaettavan viimeinenkin numero on kopioitu alas.

         34061
    37)1260257
       111
        150
        148
          225
          222
            37

Suurin luvun 37 kerrannainen, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 37, on tietenkin 1  37, joten tulosrivin loppuun lisätään luku 1. Koska 37 - 37 = 0, todetaan, että jako menee tasan.

Muita merkintätapoja

Angloamerikkalainen jakokulma otettiin Suomessa käyttöön 1970-luvun alussa, koska aiemmin käytetyssä italialaisessa tavassa tehtiin usein virheitä desimaalipilkun sijoittamisessa. Italialaisessa jakokulmassa luvut asetellaan seuraavasti:

    jaettava | jakaja 
             | osamäärä.

Italialaisella tavalla esimerkiksi jakolasku 9 : 2 = 4,5 merkitään:

9	,0		2
- 8			4,5
1	0
-1	0
	0

Anglo-amerikkalaisessa mallissa taas desimaalipilkku sijoittuu osamäärässä ilman muuta oikein (suoraan jaettavan desimaalipilkun yläpuolelle), mutta jaettava ja jakaja taas ovat käänteisessä järjestyksessä. Se on tuottanut kouluopetuksessa jonkin verran hankaluuksia; sanallisissa tehtävissä ei ole aina ollut oppilaalle selvää, kumpi kahdesta luvusta pitää jakaa kummalla, ja luvut ovat voineet mennä jakokulmaan väärin päin.

Vanha italialainen järjestelmä on kuitenkin uutta angloamerikkalaista käyttökelpoisempi erityisesti silloin, jos jaettava on jonkin toisen peruslaskutoimituksen tulos (summa, erotus tai tulo). Tällöin voi nimittäin välitulosta kopioimatta kirjoittaa osamäärän paikkaan, jossa se ei tule yhdenkään lähtöarvon päälle. Keskiarvo, joka on osamäärä, jossa jaettava on lähtöarvojen summa ja jakaja niiden lukumäärä, on hyvä esimerkki tästä. Angloamerikkalaisella merkintätavalla summa joudutaan kopioimaan yhteenlaskuviivan alta jakokulmaportaiden alle, koska osamäärä tulee portaiden päälle, mutta italialaisella merkintätavalla riittää kallistetun T-kirjaimen piirtäminen yhteenlaskuviivan oikealle puolelle, yhteenlaskettavien lukumäärän merkitseminen jakajan paikalle ja sen jälkeen varsinainen jakaminen, jolloin keskiarvo ilmestyy jakajan alle.

Ruotsissa siirryttiin 1980-luvulla jakokulmaan nimeltä liggande stolen (makaava tuoli). Siinä jaettava on jakajan vasemmalla puolella, mutta osamäärä tulee yläpuolelle seuraavasti:

4	,5
9	,0		2
-8
1	0
-1	0
	0

Joissakin 2000-luvun suomalaisissa oppikirjoissa on luovuttu jakokulman piirtämisestä ja kirjoitetaan sen sijaan jaettava, jakaja ja osamäärä samalle riville kaksoispisteellä (:) ja yhtäläisyysmerkillä erotettuina, mutta laskutoimituksen välivaiheet merkitään jaettavan alle samoin kuin muissakin merkintätavoissa. Tämä menetelmä on vanhastaan ollut käytössä Saksassa ja Unkarissa. Tällöin lasku 9 / 2 = 4,5 kirjoitetaan seuraavasti:

9	,0	:	2	=	4,5
-8
1	0
-1	0
	0

Kaikissa tavoissa algoritmi on sama, vain merkintätavat vaihtelevat.

Katso myös

• Jakolasku
• Polynomin jakokulma