Vaippa (geometria)

Pyörähdyskappaleen vaippa (keltainen) muodostuu käyrän pyörähtämisestä akselin ympäri. Ylä- ja alapohja ovat piirtämättä.

Vaippa on avaruusgeometriassa symmetria-akselin suhteen suuntautuneiden kappaleiden ympäröimä pinta, joka voi olla yksi- tai moniosainen. Vaippa erotetaan selvästi pohjasta, johon symmetria-akseli päättyy. Nimitystä "vaippa" käytetään sellaisten kappaleiden pinnan osasta, joka kiertää "pohjaksi" mielettyjä osia tai osaa. Se on geometriassa usein tapauskohtaisesti sovittu nimitys, jota käytetään esimerkiksi lieriöissä, kartioissa, pyramideissa ja erilaisten pyörähdyskappaleiden tapauksissa. Mikäli pohjaa ja vaippaa ei voi erottaa, puhutaan vain pinnasta.

Monien symmetristen kappaleiden pinnan tai vaipan pinta-alan A lauseke noudattaa sääntöä, jossa kappaleen tilavuuden lauseke V derivoidaan pyörähdyssäteen suhteen

$A={\frac {dV}{dr}}.$

Näin tapahtuu esimerkiksi pallolla ($\scriptstyle A={\frac {\frac {4\pi r^{3}}{3}}{dr}}=4\pi r^{2}$) ja lieriöllä ($\scriptstyle A={\frac {\pi r^{2}h}{dr}}=2\pi rh$).

Ympyrälieriö

Ympyrälieriön vaippa on kuvassa kääriytynyt auki.

Suora ympyrälieriö

Ympyrälieriö voidaan ajatella ympyräpohjaiseksi kappaleeksi, jonka jokainen pohjan kanssa yhdensuuntainen (koplanaarinen) leikkaus on myös sama ympyrä. Silloin lieriö muodostuu kuin kolikkopino, jossa kolikoiden keskipisteet seuraavat symmetria.akselia. Vaipan pintalle voidaan piirtää symmetria-akselin suuntaisia janoja, joita kutsutaan vaipan sivujanoja. Tämän vuoksi vaippa voidaan kääriä auki niin, että se oikenee tasoksi yhdessä suunnassa ja säilyttää suoruutensa symmetria-akselin suunnassa.

Suoralla ympyrälieriöllä symmetria-akseli on kohtisuorassa lieriön pohjaa vastaan. Sen vaippa on suorakulmio, jonka leveys on lieriön korkeus h ja pituus pohjaympyrän kehän pituus p. Jos pohjan säde on r, saadaan vaipan pituudeksi p

$p={\mbox{leveys}}=2\pi r$

ja pinta-alaksi A

$A={\mbox{leveys}}\cdot {\mbox{pituus}}=h\cdot 2\pi r=2\pi rh.$

Vino ympyrälieriö

Vino ympyrälieriö eroaa suorasta ympyrälieriöstä siinä, että symmetria-akseli ei ole enää kohtisuorassa pohjaa vasten. Tämän vuoksi myös sivujanat ovat vinossa ja vaipan voi leikata auki sivujanan suuntaisella leikkauksella. Vino ympyrälieriö on kuin vino kolikkopino, jossa kolikoiden keskipisteet seuraavat lieriön symmetria-akselia. Alin kolikko vastaa lieriön pohjaa, joka on siten ympyrä. Symmetria-akselin ja pohjan välinen kulma α on myös sivujanan ja vaipan pituuden välinen kulma. Nyt vaippa on muuttunut suunnikkaaksi, jonka yksi sivu on sivujanan s mittainen ja pituutta vastaava sivu on pohjaympyrän kehän p = 2πr mittainen sekä näiden sivujen välinen kulma on α. Silloin vaipan pinta-ala on suunnikkaan ala

$A={\mbox{sivujana}}\cdot {\mbox{pituus}}\cdot \sin \alpha =sp\sin \alpha =sh_{p},$

missä h_p on suunnikkaan korkeus.

Katkaistu ympyrälieriö

Kun ympyrälieriö leikataan poikki tasolla, joka on vinosti symmetria-akselia vasten, syntyy katkaistu lieriö. Sen symmetria-akselia kohtisuorat poikkileikkaukset ovat edelleen ympyröitä, mutta sen katkaistun pään pohjakuvio on ellipsi. Jos katkaistun ympyrälieriön muodostaisi kolikoilla, seuraavat kolikoiden keskipisteet symmetria-akselia. Symmetrisyys menetetään katkaistun pinnan lähellä, sillä kolikkopino on katkaistu vinosti ja osa kolikoiden reunoista ovat leikkautuneet pois. Jos lieriön molemmat päät ovat katkaistuja, ehkä vielä erisuuntaisilla tasoilla, on vaippa jotakin muuta kuin suorakulmio tai suunnikas. Vaipan mitat ja pinta-ala voidaan siksi määrittää vain tapauskohtaisesti.

Yleisen lieriön vaipan geometriaa tulee tarkastella erikoistapauksena aina erikseen.

Lieriö

Suora lieriö

Määritelmän mukaan lieriö on kappale, jonka kaikki pohjan suuntaiset poikkileikkaukset symmetria-akeselia pitkin ovat samoja. Jos symmetria-akseli on vielä kohtisuorassa pohjaa vastaan, on lieriö myös suora. Tällaisia kappaleita on paljon, mutta niistä seuraavassa muutama esimerkki.

Kuutio (särmän pituus s) on suora lieriö, jonka pohja on neliö ja sen pohjan suuntaiset poikkileikkaukset ovat kaikki samoja neliöitä. Kuution vaippa on neliosainen ja muodostuu kuution sivuilla olevista neljästä neliöstä. Kun vaipan leikkaa pystysuoralla viillolla auki, avautuu suorakulmio, jonka korkeus on särmän s mittainen ja pituus 4s neljän särmän mittainen. Vaipan ala on

$A=s\cdot 4s=4s^{2}.$

Suorakulmainen monitahokas, jonka pohjan mitat ovat a ja b sekä korkeus c, on suora, koska sekä symmetria-akseli että sivujanat ovat kohtisuorassa pohjaa vastaan. Vaippa aukeaa samalla tavalla kuin kuution tapauksessa. Vaipan korkeus on c ja pituus p = a + b + a + b = 2a + 2b, jolloin sen pinta-alaksi saadaan

$A=c\cdot (2a+2b)=2ac+2bc=2c(a+b).$

Kartiot ja pyramidit

Suoran ympyräkartion vaippa aukeaa sektoriksi.

Katkaistun suoran kartion vaippa avattuna.

Suora ympyräkartio

Suoran ympyräkartion symmetria-akseli on kohtisuorassa kartion ympyräpohjaa vastaan. Jokainen pohjan suuntainen kartion poikkileikkaus on eri kokoinen ympyrä. Kartiolla on vain kaksi pintaa: vaippa ja ympyräpohja. Vaippa on se pinnan osa, joka peittää kartion sen huipun ja pohjan kehän välissä. Kartion sivujana yhdistää huipun ja pohjan kehän pisteen. Kun vaippa leikataan poikki sivujanaa pitkin, aukeaa vaippa ympyrän sektoriksi. Sektorin säde on sivujanan s pituus ja sektorin piirin kaari on yhtä pitkä kuin pohjan kehän pituus p = 2πr. Sektorin keskuskulman α suuruus on verrannollinen kaaren pituuteen. Vaipan ala on

$A=\pi rs={\frac {\alpha }{360^{\circ }}}\pi s^{2}.$

Vinojen ja yleisten kartioiden vaippoja tulee tarkastella erikseen.

Katkaistu suora ympyräkartio

Suora katkaistu ympyräkartio voidaan ajatella syntyneen ympyräkartiosta siten, että sen huippu poistetaan vinolla tai kartion pohjan suuntaisella leikkauksella. Kuvan kartio on katkaistu pohjansuuntaisella leikkauksella, jolloin vaippa näyttää avattuna sektorilta, josta on leikattu sektorimainen osa keskipisteen ympäriltä pois.

Tetraedri eli säännöllinen nelitahokas

Tetraedri on pyramidi, jonka pohja on säännöllinen kolmio ja vaippa koostuu kolmesta säännöllisestä kolmioista. Katkaisemalla vaippa särmän kohdalta, leviää se kolmeksi kyljistään kiinnittyneeksi kolmioksi. Jos teraedrin särmää merkikään luvulla a, ovat vaipan mitat a korkea ja 3a leveä. Vaipan ala on

$A=3\cdot A_{kolmio}=3\cdot {\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {a^{2}3{\sqrt {3}}}{4}}$

Suora neliöpyramidi

Suoran neliöpohjaisen pyramidin pohja on neliö ja vaippaan kuuluvat tahkot tasakylkisiä kolmioita, joita on yhtä monta kuin pohjassa on sivuja eli neljä. Kun pyramidin pohjan sivun pituutta merkitään luvulla a, tahkon särmää s ja pyramidin korkeus h, saadaan

$h={\sqrt {s^{2}-{\tfrac {1}{2}}a^{2}}}\Leftrightarrow s={\sqrt {h^{2}+{\tfrac {1}{2}}a^{2}}}$

ja vaipan alaksi

$A=4\cdot A_{kolmio}=4\cdot {\tfrac {1}{2}}a{\sqrt {s^{2}-{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}=2a{\sqrt {s^{2}-{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}.$

Pyramidin katkaiseminen tulee tarkastella erikseen kuten kaikki katkaistujen kartioiden tapauksessa tehdään.

Pyörähdyskappaleet

Pyörähdyskappale syntyy ajatuksesta, että pyörähdysakselin ympärillä pyöräytetään yksi kierros annettua käyrää niin, että syntyy suljettu tila pyörähdysvaipan sisälle, tai äärellisen käyrän tapauksessa, syntyy pyörähdysvaippa, joka yhdessä käyrän päätepisteiden muodostamien pohjaympyröiden kanssa muodostaa kappaleen suljetun tilan. Vaipan mitat ja geometria riippuu suuresti pyörähdyskäyrän muodosta ja etäisyydestä akseliin. Sen pinta-ala voidaan laskea integraalilaskennan keinoin. Jos x-akselin ympäri pyöräytetään käyrä $\scriptstyle y=f(x)|a\leq x\leq b$, saadaan vaipan alaksi

$A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.$

Muita kappaleita

Jos luovutaan lieriö- tai kartiomaisuudesta ja tarkastellaan muita kappaleiden muodostumistapoja kuin pyörähtäminen, löytyy vielä tilanteita, joissa voidaan löytää vaippoja. Esimerkiksi antiprisma ei ole lieriö, mutta kahden erilaisen pohjan välissä voi olla vaippa siitä huolimatta.

• 
  Käyrän pyörähdys luo vaipan.
• 
  Gabrielin torvi syntyy pyöräyttämällä vaaka-akselin suhteen.
• 
  Tynnyri ei ole lieriö, mutta silti pyörähdyskappale.
• 
  Kahden sylinterin vaipat yhtyvät eri tavoin.
• 
  Antiprisma ei ole lieriö, koska pohjat ovat eri asennossa ja poikkileikkaukset ovat erilaisia. Silti kappaleella katsotaan olevan vaippa (keltainen).

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 16.4.2014).
• Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 3. (lukion pitkän matematiikan oppikirja) Helsinki: Tammi, 2005. ISBN 978-951-26-5059-0

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6