Composantes d'un vecteur dans un espace géométrique à trois dimensions, x, y et z. Dans le cas du concept géométrique classique de vecteur, il existe une identification complète entre ses « composantes » et les « coordonnées » qui le représentent. Cependant, il existe d'autres types d'espaces vectoriels (comme, par exemple, l'ensemble des polynômes d'ordre n), dans lesquels le concept de coordonnée n'a pas la généralité de l'idée de composante. En algèbre linéaire , les composantes d'un vecteur d'un K -espace vectoriel , dans une base donnée , sont une représentation explicite de ce vecteur par une famille de scalaires . Lorsque l'espace est de dimension n sur le corps K , les composantes forment un élément de l'espace vectoriel Kn .
Les composantes des vecteurs (d'un espace vectoriel de dimension finie ) permettent de ramener des calculs vectoriels à des calculs sur des tableaux de nombres (n -upletsmatrices , vecteurs colonnes ) qui peuvent être effectués explicitement.
Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et soit
B
=
(
b
1
,
b
2
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\left(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\right)}
E .
Alors pour tout vecteur
v
{\displaystyle v}
E , il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base, égale à
v
{\displaystyle v}
v
=
α
1
b
1
+
α
2
b
2
+
⋯
+
α
n
b
n
,
{\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n},}
c'est-à-dire que les scalaires
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}
v
{\displaystyle v}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
Maintenant, les composantes (ou les coordonnées) de
v
{\displaystyle v}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right)}
(
α
1
⋮
α
n
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}.}
La matrice est appelée matrice colonne — ou vecteur colonne — des composantes — ou des coordonnées — de
v
{\displaystyle v}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
Cette matrice est parfois notée
M
B
(
v
)
{\displaystyle M_{\mathcal {B}}(v)}
M
a
t
B
(
v
)
{\displaystyle Mat_{\mathcal {B}}(v)}
[
v
]
B
{\displaystyle [v]_{\mathcal {B}}}
Pour
i
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
i
{\displaystyle i}
i
{\displaystyle i}
v
{\displaystyle v}
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
Le mécanisme précédent, qui à un vecteur
v
{\displaystyle v}
E qui fait correspondre ses composantes dans la base
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
φ
B
{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}
∀
v
∈
E
,
φ
B
(
v
)
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
,
{\displaystyle \forall v\in E,\varphi _{\mathcal {B}}(v)=\left(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\right),}
où
α
1
,
…
,
α
n
{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}
K
{\displaystyle K}
v
=
α
1
b
1
+
⋯
+
α
n
b
n
.
{\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}
Alors
φ
B
{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}
E dans Kn .
C'est même un isomorphisme : sa réciproque
φ
B
−
1
:
K
n
→
E
{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}^{-1}:K^{n}\to E}
∀
(
α
1
,
…
,
α
n
)
∈
K
n
,
φ
B
−
1
(
α
1
,
…
,
α
n
)
=
α
1
b
1
+
⋯
+
α
n
b
n
.
{\displaystyle \forall (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in K^{n},\varphi _{\mathcal {B}}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}
Il est aussi possible de commencer par définir cette application
φ
B
−
1
{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}^{-1}}
φ
B
{\displaystyle \varphi _{\mathcal {B}}}
Soit
R
3
[
x
]
{\displaystyle \mathbb {R} _{3}[x]}
polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Cet espace est engendré par
{
1
,
x
,
x
2
,
x
3
}
{\displaystyle \{1,x,x^{2},x^{3}\}}
et la famille
B
=
(
1
,
x
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}=(1,x,x^{2},x^{3})}
La matrice colonne des composantes, dans cette base, du polynôme
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
,
{\displaystyle p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3},}
s'écrit
(
a
0
a
1
a
2
a
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}.}
Relativement à cette base, l'opérateur de dérivation
D
{\displaystyle D}
p
{\displaystyle p}
D
p
=
p
′
{\displaystyle Dp=p'}
M
a
t
B
(
D
)
=
(
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle Mat_{\mathcal {B}}(D)={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}.}
En utilisant cette représentation, il est aisé de déterminer les propriétés de l'opérateur, comme l'inversibilité , s'il est hermitien ou anti-hermitien ou rien du tout, son spectre / ses valeurs propres , etc.
Les matrices de Pauli représentent l'opérateur spin lorsque les vecteurs propres correspondant à l'état de spin sont transformés en coordonnées.
