Produto cartesiano

Na Matemática, dados dous conxuntos X e Y, o produto cartesiano (ou produto directo) dos dous conxuntos (escrito como X × Y) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a X e o segundo, a Y.

$X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.$

O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.

Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa

$X=\{\mathrm {A} ,\mathrm {K} ,\mathrm {Q} ,\mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}$

e o Y é o dos catro paus:

Y = {♠, ♥, ♦, ♣}

entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:

X × Y = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }.

Outro exemplo é o plano bidimensional R × R, onde R é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (x,y), onde x e y son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano ). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.

Cardinal

O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:

$|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$

Xeneralización

O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:

X₁ × ... × X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ pertence a X₁ e ... e x_n pertence a X_n }

ou intuitivamente (X₁ × ... × X_n-1) × X_n.

Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos:

{1, 2, 3}

o conxunto M con dous elementos:

{a,b},

e o conxunto N con 2 elementos:

{$, %},

o produto cartesiano L × M × N é:

{(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }

Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.

Notación potencial

Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:

${\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {veces} \end{matrix}}$

Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como $\mathbb {R} ^{3}$.

Produto infinito

A observación de que a estrutura do produto cartesiano $X^{n}\,$ ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe X suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.

Sexa $\Lambda \,$ un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa $X_{\lambda }\,$ un conxunto definido para cada índice $\lambda \in \Lambda \,$ (poden ser iguais ou non). Entón o produto destes conxuntos é definido por:

• $\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\{f:\Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }\,\ f(a)\in X_{a}\}\,$

Exemplo

Sexa $\Lambda =\mathbb {N^{\star }} \,$, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa $X_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}\,$. Entón $\prod X_{i}\,$ é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.

Proxección canónica

As funcións máis importantes que teñen como dominio un produto cartesiano son as proxeccións canónicas.

No caso finito, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna a i-ésima coordenada.

Ou sexa:

• $\pi _{i}(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{n})=x_{i}\,$

No caso infinito, como cada elemento de $\Pi _{\lambda }X_{\lambda }\,$ é unha función, temos que:

• $\pi _{\lambda }(f)=f(\lambda )\,$

Exemplos

• En $\mathbb {R} ^{2}\,$, as dúas proxecións canónicas son:

$\pi _{1}(x,y)=x\,$

$\pi _{2}(x,y)=y\,$

• No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto $\Pi _{i\in \mathbb {N^{\star }} }\mathbb {R} \,$, a i-ésima proxeción canónica é a función que retorna o i-ésimo elemento. Por exemplo:

$\pi _{10}(2,4,8,16,\ldots )=1024\,$

Produtos de Estruturas Matemáticas

Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo:

• o produto cartesiano de grupos é un grupo.
• o produto cartesiano de espazos vectoriais sobre o mesmo corpo é un espazo vectorial.
• o produto cartesiano de topoloxías é unha topoloxía, a topoloxía produto.