근방
N
(
p
,
r
)
{\displaystyle N(p,r)}
V
{\displaystyle V}
p
{\displaystyle p}
V
{\displaystyle V}
p
{\displaystyle p}
일반위상수학 에서 근방 (近傍, 영어 : neighborhood )은 어떤 점의 주위를 포함하는 집합 이다. 어떤 점에 대한 근방이라는 것은 그 점을 포함하는 집합이 있어서 그 점에서 집합을 벗어나지 않은 채 어느 정도 '움직일' 수 있다는 것이다. 근방은 위상 공간 속의 기본적인 개념의 하나로, 열린집합 과 내부 의 개념과도 밀접히 연관되어 있다.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
근방 은 x 를 열린 부분집합의 원소로 포함하는 집합이다. 즉, 어떤 열린 집합
U
{\displaystyle U}
X
⊃
V
⊃
U
∋
x
{\displaystyle X\supset V\supset U\ni x}
V
⊂
X
{\displaystyle V\subset X}
x 의 근방이라 한다.
점
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
열린 근방 은 열린집합 인 근방이다. 즉, 어떤 열린 집합
U
{\displaystyle U}
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
U
{\displaystyle U}
x
{\displaystyle x}
x 의 빠진 근방 (영어 : deleted neighborhood )은
V
∖
{
x
}
{\displaystyle V\setminus \{x\}}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
Y
⊂
X
{\displaystyle Y\subset X}
근방 은
Y
{\displaystyle Y}
U
{\displaystyle U}
X
⊃
V
⊃
U
⊃
Y
{\displaystyle X\supset V\supset U\supset Y}
V
⊂
X
{\displaystyle V\subset X}
Y
{\displaystyle Y}
구체적인 공간에서의 근방은 다음과 같이 정의할 수 있다.
x
{\displaystyle x}
실수 라 하자. 이 때, 반지름 이
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle x}
N
(
x
;
r
)
{\displaystyle N(x;r)}
집합 으로 정의된다.
N
(
x
;
r
)
=
{
y
∈
R
:
|
y
−
x
|
<
r
}
{\displaystyle N(x;r)=\{y\in \mathbb {R} :|y-x|<r\}}
즉,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(
x
−
r
,
x
+
r
)
{\displaystyle (x-r,x+r)}
x
{\displaystyle x}
반지름 이
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle x}
빠진 근방 (deleted neighborhood)
N
′
(
x
;
r
)
{\displaystyle N'(x;r)}
N
′
(
x
;
r
)
=
N
(
x
;
r
)
∖
{
x
}
{\displaystyle N'(x;r)=N(x;r)\setminus \{x\}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
반지름 이
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
N
(
x
;
r
)
{\displaystyle N(x;r)}
집합 으로 정의된다.
N
(
x
;
r
)
=
{
y
∈
R
n
:
|
|
y
−
x
|
|
<
r
}
{\displaystyle N(\mathbf {x} ;r)=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:||\mathbf {y} -\mathbf {x} ||<r\}}
정의에서 보다시피,
n
=
2
{\displaystyle n=2}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
r
{\displaystyle r}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
r
{\displaystyle r}
마찬가지로 반지름 이
r
{\displaystyle r}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
N
′
(
x
;
r
)
{\displaystyle N'(\mathbf {x} ;r)}
집합 으로 정의된다.
N
′
(
x
;
r
)
=
N
(
x
;
r
)
∖
{
x
}
{\displaystyle N'(\mathbf {x} ;r)=N(\mathbf {x} ;r)\setminus \{\mathbf {x} \}}
