Zvezna funkcija

Zvézna fúnkcija je v matematiki funkcija, pri kateri majhna sprememba podatka povzroči majhno spremembo funkcijske vrednosti. Graf zvezne funkcije je nepretrgan.

Matematična definicija

Zveznost nas po navadi zanima pri realnih funkcijah realne spremenljivke. Zveznost funkcije v okolici točke $a$ definiramo z definicijo epsilon-delta, ki jo je vpeljal Augustin Louis Cauchy:

Funkcija $f$ je v točki $a$ zvezna, če za poljubno majhno pozitivno število $\epsilon$ obstaja pozitivno število $\delta$, tako da velja:

$|a-x|<\delta \Rightarrow |f(a)-f(x)|<\varepsilon \!\,.$

Če se $x$ za manj kot $\delta$ razlikuje od $a$, potem se $f(x)$ za manj kot $\epsilon$ razlikuje od $f(a)$.

Zveznost lahko definiramo tudi z limito funkcije. Funkcija $f$ je v točki $a$ zvezna, če in samo če je limita v tej točki enaka funkcijski vrednosti, tj.:

$\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\!\,.$

Zgledi

Zgledi zveznih funkcij:

• Vsak polinom je povsod zvezna funkcija (vključno z linearno in kvadratno funkcijo). To pomeni, da se graf polinoma nikjer ne pretrga.
• Racionalna funkcija je zvezna povsod, kjer je definirana. Opomba: Tu velja poseben poudarek na besedah »kjer je definirana«. Racionalna funkcija ni definirana v polih, zato se graf v polih pretrga.
• Potenčna in korenska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Eksponentna in logaritemska funkcija sta zvezni povsod, kjer sta definirani.
• Trigonometrične funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.

Graf funkcije signum

Za zgled nezveznosti si oglejmo funkcijo signum (funkcijo predznaka), ki je definirana kot:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1;&{\text{za}}&x<0\\0;&{\text{za}}&x=0\\1;&{\text{za}}&x>0\end{matrix}}\right.$

Ta funkcija je sicer povsod definirana, vendar pa v točki 0 ni zvezna - graf se tam pretrga.

Zgodovina

Obliko definicije (ε, δ) zveznosti je prvi podal Bernard Bolzano leta 1817. Cauchy je pri definiciji zveznosti funkcije $y=f(x)\,$ upošteval, da neskončno majhni prirastek $\alpha \,$ neodvisne spremenljivke zmeraj povzroči neskončno majhno spremembo $f(x+\alpha )-f(x)\,$ odvisne spremenljivke y. (glej npr. Cours d'Analyse, str. 34). Neskončno majhne količine je definiral s pomočjo spremenljivih količin, njegova definicija zveznosti ustreza sodobni definiciji infinitezimal (glej mikrozveznost). Formalno definicijo in razliko med zveznostjo po točkah in enakomerno zveznostjo je prvi podal Bolzano v 1830-ih, vendar njegovo delo ni bilo objavljeno do 1930-ih. Eduard Heine je pripravil prvo objavljeno definicijo enakomerne zveznosti leta 1872, ki je temeljila na zamislih iz predavanj o določenih integralih Johanna Petra Gustava Lejeunea Dirichleta leta 1854.

Viri

• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). »Bolzano and uniform continuity«. Historia Mathematica. Zv. 32, št. 3. str. 303–311.