Spår (matematik)

Spåret är inom matematiken summan av diagonalelementen i en kvadratisk matris. Dvs, givet matrisen $A$ av storlek $n$ med elementen $a_{ij}$ , är spåret:

\operatorname {tr} \,A=\sum _{k=1}^{n}a_{kk}

Beteckningen $\operatorname {tr} A$ kommer från engelskans trace. Även beteckningen $\operatorname {sp} A$ efter tyskans spur förekommer.

Egenskaper

För spåret av $A$ gäller:

$\operatorname {tr} \,(A)=\operatorname {tr} \,(A^{T})$ .
$\operatorname {tr} \,(A+B)=\operatorname {tr} \,(A)+\operatorname {tr} \,(B)$ .
$\operatorname {tr} \,(\alpha A)=\alpha \operatorname {tr} \,(A)$ .
$\operatorname {tr} \,(ABC)=\operatorname {tr} \,(CAB)=\operatorname {tr} \,(BCA)$ .

Observera att den sista egenskapen inte är kommutativitet, matriserna får inte byta plats hur som helst, man får dock flytta dem cykliskt (matrisen som står först får sättas sist och vice versa).

Man kan visa att spåret är invariant under similärtransformation, det vill säga en transformation av formen:

A'=BAB^{-1}\,

.

Eftersom:

\operatorname {tr} (A')=\operatorname {tr} (BAB^{-1})=\operatorname {tr} (B^{-1}BA)=\operatorname {tr} (A)

Härav följer att spåret av $A$ är lika med summan av egenvärdena till $A$ , $\lambda _{1},\dots \lambda _{n}$ :

\operatorname {tr} \,A=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{k}

.

Detta inses lätt för diagonaliserbara matriser. Alla matriser kan dock skrivas på Jordans normalform (alternativt kan man använda Schurs sats), då matrisen genom en similärtransformation omvandlas till en matris på en blockdiagonal form med egenvärdena i diagonalen, så att formeln ovan följer.