142857

Celé číslo	142 857; sto čtyřicet dva tisíc osm set padesát sedm
Rozklad	33 · 11 · 13 · 37
Dělitelé	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
Římskými číslicemi
Dvojkově	100010111000001001
Osmičkově	427011
Šestnáctkově	22E09

142857 je přirozené číslo. Představuje šest periodických číslic čísla 1/7, $0{,}{\overline {142857}}$ , jedná se pravděpodobně o nejznámější cyklické číslo v desítkové soustavě. Pokud je vynásobeno 2, 3, 4, 5, nebo 6, výsledek je cyklická permutace sebe sama a koresponduje s opakujícími se číslicemi 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, a 6/7.

Výpočty

142857 × 1 = 142857	1 ÷ 7 = 0,142857
142857 × 2 = 285714	2 ÷ 7 = 0,285714
142857 × 3 = 428571	3 ÷ 7 = 0,428571
142857 × 4 = 571428	4 ÷ 7 = 0,571428
142857 × 5 = 714285	5 ÷ 7 = 0,714285
142857 × 6 = 857142	6 ÷ 7 = 0,857142
142857 × 7 = 999999	7 ÷ 7 = 0,999999 = 1
(viz dále)	8 ÷ 7 = 1,142857
(viz dále)	9 ÷ 7 = 1,285714

Pokud se 142857 vynásobí číslem větším než 7, existuje poměrně jednoduchý proces jak dostat opět cyklickou permutaci čísla 142857. Sečtením pravých šesti číslic se zbylými číslicemi a opakováním, dokud nezůstane pouze 6 číslic. Vznikne opět cyklická permutace 142857, např.:

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

Násobením násobkem čísla 7 vyjde opět po použití předešlého procesu číslo 999999.

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Rozdíl kvadrátů prvního a druhého trojčíslí (kterékoli cyklické permutace 142857) dá (v absolutní hodnotě) opět cyklickou permutaci, např.:

857² − 142² = 734449 − 20164 = 714285

1/7 jako nekonečná řada

Existuje zajímavý model, podle kterého jde tato nekonečná řada sestavit. Krom toho, že se 1/7 skládá z opakování 142857, lze číslo napsat i s využitím zdvojení, řazení a sčítání, která dává 1/7.

${\begin{aligned}1/7\ &=0{,}142857142857142857\ldots \\[6pt]&=0{,}14+0{,}0028+0{,}000056+0{,}00000112+0{,}0000000224+0{,}000000000448+0{,}00000000000896+\cdots \\[6pt]&={\frac {14}{100}}+{\frac {28}{100^{2}}}+{\frac {56}{100^{3}}}+{\frac {112}{100^{4}}}+{\frac {224}{100^{5}}}+\cdots +{\frac {7\times 2^{N}}{100^{N}}}+\cdots \\[6pt]&=\left({\frac {7}{50}}+{\frac {7}{50^{2}}}+{\frac {7}{50^{3}}}+{\frac {7}{50^{4}}}+{\frac {7}{50^{5}}}+\cdots +{\frac {7}{50^{N}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {7}{50^{k}}}\end{aligned}}$

Každý člen je dvojnásobek předchozího posunutý o dvě místa doprava.

Externí odkazy